素数处理-埃拉托色尼筛选法（埃式筛）

埃拉托色尼筛选法（The Sieve of Eratosthenes）

继欧拉筛之后，我今天补的一篇博客。名字太长了emm。简称就是埃式筛法。

埃筛只能解决1e7以下的问题。
因为空间受限。

这两种筛法其实差不多嘻嘻。
埃式筛法是一种古老而简单的方法。可以快速找到[2, n]内所有的素数。
初始队列：[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13…]
操作步骤如下：
1.输出最小素数2，然后筛掉2的倍数。剩下[3, 5, 7, 9, 11, 11, 13…]
2.输出最小素数3，然后筛掉3的倍数。剩下[5, 7, 11, 13…]
3.输出最小素数5，然后筛掉5的倍数。剩下[7, 11, 13…]
…
持续上述步骤，直至队列为空。

我们可以采用：vis[i]记录数字i的状态。
如果vis[i] = 1的话，代表它被筛掉了，不是素数。（为0的话就是素数，这里跟欧拉筛简直不要太像好吗？？？）
用prime[]存放素数，例如prime[0] = 2(存放的是第一个素数）

不过我们一般用的时候看情况把~
有时候vis[j] = i；直接存放的是j的最小因数。

这里给出部分代码：
函数返回的是素数的个数

const int N = 1e7 + 10;int prime[N];
int vis[N];int E_sieve(int n)
{int cnt = 0;for (int i = 0; i <= n; i++){vis[i] = 0;} for (int i = 2; i <= n; i++){if (!vis[i]){prime[k++] = i;for (int j = i + i; j <= n; j += i){vis[j] = 1;}}}return cnt;
}

上面代码不够优化。
因为我们计算n以内的素数的时候。其实只用算到sqrt(n)就行。
非素数k必定可以被一个小于等于sqrt(k)的素数整除。
还有这一部分：

也是可以被优化的。
我们把j = i + i优化为j = i * i;
因为比如：i = 5的时候。
5 * 2， 5 * 3， 5 * 4其实已经被前面的i = 2, 3, 4筛过了。
（原因是当前筛的数字的最小因数不是它，嘻）

优化过的部分代码：

const int N = 1e7 + 10;int prime[N];
int vis[N];int E_sieve(int n)
{int cnt = 0;for (int i = 0; i <= n; i++){vis[i] = 0;} for (int i = 2; i * i <= n; i++){if (!vis[i]){for (int j = i * i; j <= n; j += i){vis[j] = 1;}}}for (int i = 2; i <= n; i++){if (!vis[i]){prime[cnt++] = i;}}return cnt;
}

嘻~还是挺简单的

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