BZOJ4899: 记忆的轮廓期望DP 决策单调性

题意：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4899
容易发现树形结构是骗人的。。。走到错误分叉的影响是可以预处理的常数，所以就相当于一个序列从头走到尾的问题，那么可以预处理出对于每个点若在这里存档则走到其他点的期望步数
很容易想到f[i][j]表示走到第i个点，已经用了j个存档机会的最优值，那么枚举i前面的k进行转移，就是o(n*n*p)的复杂度。
然后你看这个方程长得这么simple一看就是要优化的对不对。。。观察一下上面说的每个存档点走到其他点期望步数的递推式，发现若从i走到j变为从i走到j+1，数值会乘以j的儿子数再加上一个只与j有关的数，而不受i影响。那么考虑对于两个决策点，随着待决策点的右移，离得远的那一个一定会增长得越来越快，所以决策点单调右移。于是就可以把复杂度降为o(n*log(n)*p)了。

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<utility>
#include<algorithm>
#define gm 701
using namespace std;
int T;
int n,m,p;
vector<int> s[1501];
double nex[1501],dis[gm][gm],f[gm][gm];
void dfs(int x)
{int d=s[x].size();if(!d) {nex[x]=1; return;}nex[x]=0;for(int i=0;i<d;++i){int y=s[x][i]; dfs(y);if(y>n) nex[x]+=(nex[y]+1)/d;}
}
typedef pair<int,int> pr;
vector<pr> kon[gm];
#define F(i,j,k) (f[i][j]+dis[i][k])
void push(int x,int y)
{vector<pr>& kre=kon[y];int top=kre.size();if(top==1) {kre.push_back(pr(x,n)); return;}if(F(x,y,n)-F(kre[top-1].first,y,n)>1e-6) return;while(top!=1){int va=kre[top-1].first,le=max(kre[top-2].second,x)+1;if(F(va,y,le)-F(x,y,le)>1e-6) --top,kre.pop_back();else break;}if(top==1) {kre.push_back(pr(x,n)); return;}int l=kre[top-2].second+1,r=n,v=kre[top-1].first;while(l!=r){int mid=l+r+1>>1;if(F(v,y,mid)-F(x,y,mid)>1e-6) r=mid-1;else l=mid;}kre[top-1].second=l;kre.push_back(pr(x,n));
}
struct cmp{bool operator() (const pr &a,int b) const {return a.second<b;}};
void calc(int x,int y)
{vector<pr>& kre=kon[y-1];if(kre.size()==1) return;vector<pr>::iterator it=lower_bound(kre.begin(),kre.end(),x,cmp());f[x][y]=F(it->first,y-1,x);push(x,y);
}
int main()
{scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);for(int i=1;i<=m;++i) s[i].clear();for(int i=1;i<n;++i) s[i].push_back(i+1);for(int i=1;i<=p;++i) {kon[i].clear(); kon[i].push_back(pr(0,0));}for(int i=1;i<=m-n;++i){int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);s[u].push_back(v);}dfs(1);for(int i=1;i<=n;++i){dis[i][i]=0;for(int j=i+1;j<=n;++j)dis[i][j]=s[j-1].size()*(dis[i][j-1]+nex[j-1])+1;}f[1][1]=0; push(1,1);for(int i=2;i<=n;++i)for(int j=min(p,i);j>=2;--j)calc(i,j);printf("%.4lf\n",f[n][p]);}return 0;
}

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