MATLAB 第十二章 矩阵的秩与向量组的最大无关组

MATLAB 高等数学实验 实验十二矩阵的秩与向量组的最大无关组 实验目的 学习利用MATLAB命令求矩阵的秩, 对矩阵进行初等行变换, 求向量组的秩与最大无关组。 12.1 学习MATLAB命令 12.1.1 求矩阵的秩 矩阵的秩即矩阵不为零的子式的最高阶数。用命令rank(A)可以求出矩阵A的秩。 12.1.2 用初等行变换求矩阵的行最简形 命令rref(A)返回矩阵A的行最简形。 12.2 实验内容 【例1】设 , 求矩阵M的秩。 输入： M=[3,2,-1,-3,-2;2,-1,3,1,-3;7,0,5,-1,-8]; rank(M) 输出为： ans = 2 12.2.1 求矩阵的秩 【例2】已知矩阵 秩等于2, 求常数t的值。 左上角的二阶子式不等于0。由于矩阵的秩为2, 因此其三阶子式应该都等于0。 输入： syms t M=[3,2,-1,-3;2,-1,3,1;7,0,t,-1]; det(M(1:3,1:3)) 输出为： ans = 35-7*t 当t=5时, 有一个三阶子式等于0, 但是否所有的三阶子式都为0呢? 输入： M=[3,2,-1,-3;2,-1,3,1;7,0,5,-1]; rank(M) 输出为： ans = 2 说明此时矩阵的秩等于2. 12.2.2 矩阵的初等行变换 命令rref(A)把矩阵A化作行最简形, 因此可以用初等行变换法求矩阵的秩和逆。 【例3】设矩阵 , 求A的秩。 输入： A=[2,-3,8,2;2,12,-2,12;1,3,1,4]; rref(A) 输出为： ans = 1.0000 0 3.0000 2.0000 0 1.0000-0.6667 0.6667 0 0 0 0 因此A的秩等于2。 【例4】设 , 证明矩阵A可逆, 并用初等行变换求A的逆。 输入： A=[1,2,3;2,2,1;3,4,3]; E=eye(3);%生成一个单位矩阵 AE=[A E] AENi=rref(AE) 输出为： AE = 1 2 3 1 0 0 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1 AENi = 1.000 0 0 1.000 3.000 -2.000 0 1.000 0 -1.500 -3.000 2.500 0 0 1.00 1.000 1.000 -1.000 可以看到矩阵A的逆已经求出。为了取出A的逆, 输入： ANi=AENi(:,[4,5,6])%只保留矩阵AENi的第四、五、六列 输出为： ANi = 1.0000 3.0000 -2.0000 -1.5000 -3.0000 2.5000 1.0000 1.0000 -1.0000 或输入： AENi(:,[1,2,3])=[]%删除矩阵AENi的第一、二、三列 输出为： AENi = 1.0000 3.0000 -2.0000 -1.5000 -3.0000 2.5000 1.0000 1.0000 -1.0000 12.2.3 向量组的秩 矩阵的秩与它的行向量组, 以及列向量组的秩相等, 因此可以用命令rref求向量组的秩。 【例5】求向量组 , , 的秩。 将向量写作矩阵的行, 输入： A=[1,2,-1,1;0,-4,5,-2;2,0,3,0]; rref(A) 输出为： ans = 1.0000 0 1.5000 0 0 1.0000 -1.2500 0.5000 0