线性流形

假设FFF是一个数域，VVV是FFF上的一个线性空间。称M⊂VM \subset VM⊂V是一个线性流形，如果
∀x,y∈M,∀λ∈F,(1−λ)x+λy∈M\forall x,y \in M,\forall \lambda \in F,(1-\lambda)x+\lambda y \in M∀x,y∈M,∀λ∈F,(1−λ)x+λy∈M

定理1 线性子空间是包含零元的线性流形
证明
“⇒\Rightarrow⇒” 显然成立；
“⇐\Leftarrow⇐” 验证下面几点：

MMM对数乘封闭；
∀λ∈F,x∈M,λx=(1−λ)0+λx∈M\forall \lambda \in F,x \in M,\lambda x = (1-\lambda)0+\lambda x \in M∀λ∈F,x∈M,λx=(1−λ)0+λx∈M
MMM对加法封闭；
∀x,y∈M,x+y=2(x/2+y/2)∈M\forall x,y \in M,x+y = 2(x/2+y/2) \in M∀x,y∈M,x+y=2(x/2+y/2)∈M

因此包含零元的线性流形是线性子空间。

证毕

定义集合M⊂VM \subset VM⊂V沿向量a∈Va \in Va∈V方向的平移为
M+a={x+a:x∈M}M+a = \{x+a:x \in M\}M+a={x+a:x∈M}

记S=M+aS=M+aS=M+a，称MMM与SSS平行，记为M∣∣SM||SM∣∣S，这是一种等价关系。

定理2 线性空间中的每个线性流形都平行于唯一一个线性子空间：
L≜M−M={x−y:x,y∈M}L \triangleq M-M = \{x-y:x,y \in M\}L≜M−M={x−y:x,y∈M}

证明
考虑∀y∈M\forall y \in M∀y∈M, M−yM-yM−y是一个线性流形，并且包含零元，根据定理1，M−yM-yM−y是一个线性子空间，因为yyy的任意性，我们可以构造
L≜M−M={x−y:x,y∈M}L \triangleq M-M = \{x-y:x,y \in M\}L≜M−M={x−y:x,y∈M}

满足M∣∣LM||LM∣∣L。下面讨论唯一性，假设MMM平行于L1,L2L_1,L_2L1,L2，根据平行的传递性，L1∣∣L2L_1 || L_2L1∣∣L2，说明∃a∈V\exists a \in V∃a∈V, L2=L1+aL_2 = L_1+aL2=L1+a，对于0∈L20 \in L_20∈L2, ∃−a∈L1\exists -a \in L_1∃−a∈L1, 0=−a+a0=-a+a0=−a+a，因此a∈L1a \in L_1a∈L1, 所以L2=L1+a⊂L1L_2 = L_1+a \subset L_1L2=L1+a⊂L1，类似有L1⊂L2L_1 \subset L_2L1⊂L2。故L1=L2L_1=L_2L1=L2。
证毕

称LLL与MMM具有相同的维数：dim(L)=dim(M)=dim(V)−1dim(L)=dim(M)=dim(V)-1dim(L)=dim(M)=dim(V)−1。维数为0、1、2、大于2的线性空间中的线性流形分别叫做点、线、平面与超平面。

超平面

在线性空间VVV上定义内积：∀x,y∈V\forall x,y \in V∀x,y∈V,
(x,y)=∑i=1nxiyi(x,y) = \sum_{i=1}^n x_iy_i(x,y)=i=1∑nxiyi

有了内积之后，根据Riesz定理，VVV上的任意线性泛函fff可以表示为
f(x)=(x,b),∃b∈Vf(x) = (x,b), \exists b \in Vf(x)=(x,b),∃b∈V

并且我们可以定义正交：xxx与yyy正交等价于(x,y)=0(x,y)=0(x,y)=0，如果xxx与子空间WWW中的每个向量正交，就称xxx与子空间WWW正交。VVV中所有与WWW正交的向量构成的子空间叫做WWW的正交补空间，记为W⊥W^{\perp}W⊥。

定理3 VVV中的每个超平面都可以用它的法线唯一表示。用HHH表示超平面，则∃!b∈V,∃!β∈F\exists ! b \in V,\exists ! \beta \in F∃!b∈V,∃!β∈F
H={x∈V:(x,b)=β}H =\{x \in V:(x,b)=\beta\}H={x∈V:(x,b)=β}

称bbb为HHH的法向量。

证明
根据定理2，dim(L)=dim(H)=dim(V)−1dim(L)=dim(H)=dim(V)-1dim(L)=dim(H)=dim(V)−1。对于线性子空间LLL，它的正交补空间LTL^TLT的维数为1，因此∃b∈LT\exists b \in L^T∃b∈LT,
L={x∈V:(x,b)=0}L = \{x\in V:(x,b)=0\}L={x∈V:(x,b)=0}

需要注意的是虽然bbb不唯一，但dim(LT)=1dim(L^T)=1dim(LT)=1，因此bbb代表的方向是唯一的，它表示与LTL^TLT平行的方向，或者说，LLL的法向。因为L∣∣HL||HL∣∣H，∃!a∈V\exists !a \in V∃!a∈V,
H=L+a={x∈V:(x,b)=0}+a={x∈V:(x,b)=β}H= L+a = \{x\in V:(x,b)=0\}+a = \{x \in V:(x,b)=\beta\}H=L+a={x∈V:(x,b)=0}+a={x∈V:(x,b)=β}

其中β=(a,b)\beta = (a,b)β=(a,b)。

证毕

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