UA SIE545 优化理论基础1 凸分析2 仿射组合与仿射包

对于数域FFF上的线性空间VVV，考虑∀x1,⋯,xm∈V,∀λ1,⋯,λm∈F\forall x_1,\cdots,x_m \in V,\forall \lambda_1,\cdots,\lambda_m \in F∀x1,⋯,xm∈V,∀λ1,⋯,λm∈F, λ1+⋯+λm=1\lambda_1+\cdots+\lambda_m=1λ1+⋯+λm=1，称x=λ1x1+⋯+λmxmx=\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_mx_mx=λ1x1+⋯+λmxm

为一个仿射组合。考虑S⊂VS \subset VS⊂V，记affSaffSaffS为线性子空间的SSS仿射包，它是包含SSS的最小线性流形：
affS={∑i=1mλixi:xi∈S,λi∈F,∑i=1mλi=1}affS=\{\sum_{i=1}^m \lambda_ix_i:x_i \in S,\lambda_i \in F,\sum_{i=1}^m \lambda_i=1\}affS={i=1∑mλixi:xi∈S,λi∈F,i=1∑mλi=1}

对于y0,y1,⋯,ym∈Sy_0,y_1,\cdots,y_m \in Sy0,y1,⋯,ym∈S，称它们仿射无关，如果y1−y0,⋯,ym−y0y_1-y_0,\cdots,y_m-y_0y1−y0,⋯,ym−y0线性无关；称它们仿射相关，如果y1−y0,⋯,ym−y0y_1-y_0,\cdots,y_m-y_0y1−y0,⋯,ym−y0线性相关。因此
span{y1−y0,⋯,ym−y0}=aff{0,y1−y0,⋯,ym−y0}span\{y_1-y_0,\cdots,y_m-y_0\}=aff\{0,y_1-y_0,\cdots,y_m-y_0\}span{y1−y0,⋯,ym−y0}=aff{0,y1−y0,⋯,ym−y0}

其中aff{vectors}aff\{vectors\}aff{vectors}表示由这些vectors生成的线性流形。另外，根据平行关系，
aff{0,y1−y0,⋯,ym−y0}=b0+aff{y0,y1,⋯,ym}aff\{0,y_1-y_0,\cdots,y_m-y_0\}=b_0+aff\{y_0,y_1,\cdots,y_m\}aff{0,y1−y0,⋯,ym−y0}=b0+aff{y0,y1,⋯,ym}

基于仿射无关与线性无关的关系，我们可以将判断线性相关性的方法直接用来判断仿射相关性。另外，根据线性流形与线性子空间的关系，仿射变换总是可以表示成一个线性变化和一个平移。

UA SIE545 优化理论基础1 凸分析2 仿射组合与仿射包相关推荐

UA SIE545 优化理论基础1 凸分析3 凸集与凸包
UA SIE545 优化理论基础1 凸分析3 凸集与凸包基本概念与性质凸集凸组合凸包基本概念与性质凸集考虑数域FFF上的线性空间VVV. 定义一凸集(convex set).S⊂VS ...
UA SIE545 优化理论基础1 凸分析8 极点与极方向
UA SIE545 优化理论基础1 凸分析8 极点与极方向这一讲我们讨论一种特殊的凸集,多面体集合(polyhedral set),定义 S={x∈Rn:Ax=b,x≥0}S = \{x \in \ ...
UA SIE545 优化理论基础1 凸分析1 线性流形与超平面
UA SIE545 优化理论基础1 凸分析1 线性流形与超平面线性流形超平面线性流形假设FFF是一个数域,VVV是FFF上的一个线性空间.称M⊂VM \subset VM⊂V是一个线性流形,如 ...
UA SIE545 优化理论基础1 例题1 常见的凸集
UA SIE545 优化理论基础1 例题1 常见的凸集一些例题在优化理论中,我们主要讨论下面几种凸集: 超平面:{x:pTx=β}\{x:p^Tx=\beta\}{x:pTx=β} 半空间:{x: ...
UA SIE545 优化理论基础用Farkas定理证明Farkas类的结论
UA SIE545 优化理论基础用Farkas定理证明Farkas类的结论 Farkas定理 AAA是一个m×nm\times nm×n的矩阵,下面两个系统有且仅有一个有解: I:Ax≤0,cTx& ...
UA SIE545 优化理论基础函数凸性的一些有趣的判断方法
UA SIE545 优化理论基础函数凸性的一些有趣的判断方法 Convex function f:S→Rf:S \to \mathbb{R}f:S→R where SSS is a nonempty ...
UA SIE545 优化理论基础例题对偶函数的凸性与次梯度计算
UA SIE545 优化理论基础例题对偶函数的凸性与次梯度计算例考虑对偶函数 θ(u1,u2)=min⁡x12+x22≤4x1(2−u1)+x2(3−u2)\theta(u_1,u_2) = ...
UA SIE545 优化理论基础2 凸函数概念理论总结
UA SIE545 优化理论基础2 凸函数概念理论总结凸函数的概念与简单性质 Convex function f:S→Rf:S \to \mathbb{R}f:S→R where SSS is ...
UA SIE545 优化理论基础3 Fritz-John与Kuhn-Tucker理论总结带等式约束与不等式约束的极值问题
UA SIE545 优化理论基础3 Fritz-John与Kuhn-Tucker理论总结带等式约束与不等式约束的极值问题对于函数f:X→Yf:X \to Yf:X→Y,我们希望XXX是一个凸的度量 ...

UA SIE545 优化理论基础1 凸分析2 仿射组合与仿射包

UA SIE545 优化理论基础1 凸分析2 仿射组合与仿射包

UA SIE545 优化理论基础1 凸分析2 仿射组合与仿射包相关推荐

最新文章

热门文章