前言

图的最短路径问题在现实生活中有很广阔的应用，最短路径又分为单源最短路径与多源最短路径，前者求出固定起点到其他节点的最短路径，后者求出可变起点到其他节点的最短路径。同时，又有多种思想来求解，比如贪心算法与动态规划求解最短路径，前者求得局部最优解，时间复杂度与空间复杂度低代价小，被广泛应用；后者求得全局最优解，但时间复杂度与空间复杂度相对高，本文迪杰斯特拉算法便是动态规划思想。
迪杰斯特拉算法设置动态规划数组dp，根据最优化策略进行状态转移，更新dp数组（保存状态）。该算法描述与过程均放在代码注释中，大家结合代码与注释学习。

以下是代码使用的图示例：

C代码

/*这里我们关心算法的实现而淡化图这种数据结构的表示，所以我们这里用简化的邻接矩阵表示邻接矩阵G与dp数组我们定义为全局变量（在写大型工程时不要这么做）由于我们将两个dp数组设置为定长，增加了判断-1的时间，所以我们程序的时间复杂度达到了O(n3)，可以把两个dp数组设置为变长则缩短至O(n2)，大家可以自己动手试试
*/
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>              // 使用malloc函数
#define INFINITY 65535           // 定义正无穷
#define MAXSIZE 10              // 定义最大节点数
enum Nodes{A, B, C, D, E};      // 令A,B,C,D,E作为常量，分别等于邻接矩阵下标0，1，2，3，4typedef struct{int matrix[MAXSIZE][MAXSIZE];int size;                  // 节点数
}Graph;     // 创建简化版邻接矩阵数据结构
typedef struct{int index;int value;
}elem;      // 模拟字典的数据结构方便函数返回键值对typedef struct{int *dp_com;        // 已确定最短路径的节点集合int *dp_row;        // 未确定最短路径的节点集合int length;
}Dp;        // 创建双dp数组数据结构
Dp dp;/*邻接矩阵初始化
*/
Graph G = {{{0,30,20,10,INFINITY},{30,0,INFINITY,10,5},{20,INFINITY,0,5,20},{10,10,5,0,10},{INFINITY,5,20,10,0}}, 5};
/* 双动态规划数组初始化
*/
void dp_Init(Graph g, int start, Dp *p)    // 注意：这里不能让指针直接指向G的某一行，因为那样操作dp时也会修改G
{int i;p->length = g.size;p->dp_com = (int *)malloc(sizeof(int)*g.size);p->dp_row = (int *)malloc(sizeof(int)*g.size);for(i=0;i<g.size;i++)p->dp_row[i] = g.matrix[start][i];                 // -1代表为空for(i=0;i<g.size;i++)p->dp_com[i] = -1;                 // -1代表为空
}
/*输出dp数组
*/
void dp_display(Dp dp)
{int i;printf("\tdp_complete:  {");for(i=0;i<G.size;i++){if(dp.dp_com[i]==INFINITY)printf("∞ ");elseprintf("%d ",dp.dp_com[i]);}printf("\b}\n");printf("\t   dp_row  :  {");for(i=0;i<G.size;i++){if(dp.dp_row[i]==INFINITY)printf("∞ ");elseprintf("%d ",dp.dp_row[i]);}printf("\b}\n");
}
/*输出邻接矩阵
*/
void GraphDisplay(Graph g)
{for(int i=0; i<g.size; i++){for(int j=0; j<g.size; j++){if(g.matrix[i][j]==INFINITY)printf("∞ ");elseprintf("%d ",g.matrix[i][j]);}printf("\n");}
}
/*获得数组最小值
*/
elem getmin(Dp dp)
{elem min={-1, INFINITY};for(int i=0; i<dp.length;i++)if(dp.dp_row[i]!=-1&&dp.dp_row[i]<min.value){min.index = i;min.value = dp.dp_row[i];}return min;
}
/*子最短路径更新
*/
void SubOptimizition(Graph g, Dp *dp)   // 动态规划子问题最优化过程：根据dp_com更新dp_row数组各元素
{for(int i=0; i<dp->length; i++){if(dp->dp_row[i]!=-1)for(int j=0; j<dp->length; j++){if(dp->dp_com[j]!=-1)     if(dp->dp_com[j]+g.matrix[j][i]<dp->dp_row[i])          // 更新row数组达到最优化过程dp->dp_row[i] = dp->dp_com[j]+g.matrix[j][i];}}
}
/*
路径规划过程：->选取当前最短子路径min(dp_row)的索引与值即键值对->用该最短子路径更新对应dp_com位置，同时该dp_row位置置为-1表示不存在为空->使用刚刚更新后的dp_com数组，最优化dp_row数组，完成状态转移->返回第一步重复，直至dp_row数组全空
*/
void PathProgram(Graph g, Dp *dp)       // 路径规划过程：选取当前最短路径min(dp_row)
{elem i = getmin(*dp);while (i.value!=INFINITY){dp->dp_com[i.index] = i.value;dp->dp_row[i.index] = -1;SubOptimizition(g,dp);i = getmin(*dp);}}int main()
{dp_Init(G,A,&dp);printf("图的邻接矩阵如下：\n");GraphDisplay(G);printf("初始时的dp数组：\n");dp_display(dp);PathProgram(G,&dp);printf("结束时的dp数组：\n");dp_display(dp);
}

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