luogu P3306 [SDOI2013] 随机数生成器（BSGS，数列求通项，毒瘤特判）

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发个水题的题解证明我还在（）

luogu P3306 [SDOI2013] 随机数生成器

Weblink

https://www.luogu.com.cn/problem/P3306

Problem

最近小 W 准备读一本新书，这本书一共有 ppp 页，页码范围为 0∼p−10 \sim p-10∼p−1。

小 W 很忙，所以每天只能读一页书。为了使事情有趣一些，他打算使用 NOI2012 上学习的线性同余法生成一个序列，来决定每天具体读哪一页。

我们用 xix_ixi 来表示通过这种方法生成出来的第 iii 个数，也即小 W 第 iii 天会读哪一页。这个方法需要设置 333 个参数 a,b,x1a,b,x_1a,b,x1 ，满足 0≤a,b,x1<p0\leq a,b,x_1\lt p0≤a,b,x1<p，且 a,b,x1a,b,x_1a,b,x1

都是整数。按照下面的公式生成出来一系列的整数：

xi+1≡a×xi+b(modp)x_{i+1} \equiv a \times x_i+b \pmod pxi+1≡a×xi+b(modp)

其中 modmodmod 表示取余操作。

但是这种方法可能导致某两天读的页码一样。

小 W 要读这本书的第 ttt 页，所以他想知道最早在哪一天能读到第 ttt 页，或者指出他永远不会读到第 ttt 页。

Solution

根据题意我们可以得到一个递推公式：

xn=axn+1+bx_n=ax_{n+1}+b xn=axn+1+b
（经典高中数列套路）设：
xn+c=a(xn−1+c)xn+c=axn−1+acxn=axn−1+ac−cxn=axn−1+(a−1)c→(a−1)c=b→c=ba−1xn+ba−1=a(xn−1+ba−1)\begin{aligned}& x_n+c=a(x_{n-1}+c)\\&x_n+c=ax_{n-1}+ac\\&x_n=ax_{n-1}+ac-c\\&x_n=ax_{n-1}+(a-1)c\\&\to(a-1)c=b\to c=\frac{b}{a-1} \\& x_n+\frac{b}{a-1}=a(x_{n-1}+\frac{b}{a-1})\end{aligned} xn+c=a(xn−1+c)xn+c=axn−1+acxn=axn−1+ac−cxn=axn−1+(a−1)c→(a−1)c=b→c=a−1bxn+a−1b=a(xn−1+a−1b)

即可得到：

xn+ba−1=a(xn−1+ba−1)=a(a(xn−2+ba−1))=⋯=an−1(x1+ba−1)\begin{aligned}x_n+\frac{b}{a-1}&=a(x_{n-1}+\frac{b}{a-1})\\&=a(a(x_{n-2}+\frac{b}{a-1}))\\&=\cdots\\&=a^{n-1}(x_1+\frac{b}{a-1})\end{aligned} xn+a−1b=a(xn−1+a−1b)=a(a(xn−2+a−1b))=⋯=an−1(x1+a−1b)

显然根据题意， xn=tx_n=txn=t
我们就可以将答案的表达式转化为标准的高次同余方程的形式：

an−1≡t+ba−1x1+ba−1(modp)a^{n-1}\equiv \cfrac{t+\frac{b}{a-1}}{x_1+\frac{b}{a-1}}\pmod p an−1≡x1+a−1bt+a−1b(modp)

使用BSGS算法求解即可。

注意观察等式，需要特判几个特殊情况，因为有分数，分母不能为 000：

a=1→a−1=0a=1\to a-1=0a=1→a−1=0
a=0a=0a=0
x1+ba−1=0x_1+\cfrac{b}{a-1}=0x1+a−1b=0
a=1,b=0a=1,b=0a=1,b=0，当 n=1n=1n=1 ，xn=x1x_n=x_1xn=x1，当 n≥2n\ge 2n≥2，xn=bx_n=bxn=b
a=1,b≠0a=1,b≠0a=1,b=0，xn≡xn−1+b(modp)→xn=xn−1+b→xn=(n−1)b+x1→xn≡(n−1)b+x1(modp)→b(n−1)+py=t−x1→exgcd,x=n−1x_n\equiv x_{n-1}+b\pmod p\to x_n= x_{n-1}+b\to x_n=(n-1)b + x_1\to x_n\equiv(n-1)b + x_1\pmod p\to b(n-1)+py=t-x_1\to exgcd,x=n-1xn≡xn−1+b(modp)→xn=xn−1+b→xn=(n−1)b+x1→xn≡(n−1)b+x1(modp)→b(n−1)+py=t−x1→exgcd,x=n−1

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
const ll N = 5e6 + 7, INF = 0x3f3f3f3f;
const double PI = acos(-1.0), eps = 1e-8;int n, m, p, a, b, x1, t, T;int qpow(int a, int b, int mod)
{int res = 1;while(b) {if(b & 1) res = res * a % mod;a = a * a % mod;b >>= 1;}return res;
}int inv(int a, int p)
{return qpow(a, p - 2, p);
}int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if(b == 0) {x = 1; y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, x, y);int z = x;x = y, y = z - (a / b) * y;return d;
}int BSGS(int a, int b, int p)
{if (1 % p == b % p) return 0;int k = sqrt(p) + 1;unordered_map<int, int> hash;for (int i = 0, j = b % p; i < k; i ++ ){hash[j] = i;j = j * a % p;}int ak = 1;for (int i = 0; i < k; i ++ ) ak = ak * a % p;for (int i = 1, j = ak; i <= k; i ++ ){if (hash.count(j)) return  i * k % p - hash[j] % p;j = j * ak % p;}return -1;
}void solve()
{scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &p, &a, &b, &x1, &t);if(a == 0) {if(x1 == t) puts("1");else if(b == t) puts("2");else puts("-1");return ;}else if(a == 1) {if(b == 0) {if(x1 == t) puts("1");else puts("-1");return ;}int x, y;int d = exgcd(b, p, x, y);x = (x * (t - x1) % p / d + p) % p;printf("%lld\n", x + 1);return ;}else {int C = b * inv(a - 1, p) % p;int A = (x1 + C) % p;if(A == 0) {int res = (-C + p) % p;if(res == t) puts("1");else puts("-1");return ;}else {int B = (t + C) % p * inv(A, p) % p;int n = BSGS(a, B, p);if(n == -1) puts("-1");else printf("%lld\n", n + 1);return ;}}
}
signed main()
{scanf("%lld", &T);while(T -- ) {solve();}return 0;
}

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