【树的直径】解题报告： luogu P3629 [APIO2010]巡逻（树的直径，位运算成对变换，思维）

题目链接：P3629 [APIO2010]巡逻

首先看题，从1号结点开始，全部遍历并回到1号结点会恰好经过所有的边两次，这样总长度为 2∗(n−1)2*(n-1)2∗(n−1)。
那么如果建立一条路以后，由题意可知新道路必须经过恰好一次，也只能经过一次，所以新路从x到y形成一个环，这样就可以用新路的权值1来代替老路径中从x到y的路径1次，也就是说从x到y之间的路径在建立了新路以后只需要再经过一次就行了。所以我们要求最短，肯定要把整棵树上的最长链也就是树的直径省掉答案最优。所以当k = 1 时，我们找到最长链，在这两个端点之间加一条新路，设直径为L，则答案ans=2∗(n−1)−L+1ans = 2*(n-1) - L +1ans=2∗(n−1)−L+1（+1是因为要走一次新加的新路）。

当k = 2时，我们按照刚刚的理论，再求一次最长链。这样形成两个环，第一条肯定不能跟第二条一样，所以我们求完第一条以后要把第一条最长链给删去。这里找到第一次的最长链，遍历一遍，将值从1变成-1。
如果第二条与第一条链没有重叠，那么就跟第一条链一样，直接减去即可。
若第二条连与第一条链有重叠，那么由于本应只走一次的路径会走两次，多减去的值需要加回来，但是由于第一条链上的所有边已经取反为-1，这样减去负数又相当于加上这个数，所以两种答案是一样的。
最终的答案为ans=2∗(n−1)−(L1−1)−(L2−1)=2∗n−L1−L2ans = 2*(n-1) - (L_1-1) - (L_2-1) = 2*n - L_1 - L_2ans=2∗(n−1)−(L1−1)−(L2−1)=2∗n−L1−L2
总时间复杂度为O(n)O(n)O(n)

这里将第一条链的值全部赋值为-1的时候用到了一个位运算的小技巧 —— 成对变换。
要注意成对变换的时候要初始化tot = 1

当n为偶数的时候，n XOR 1 = n + 1 当n为奇数的时候，n XOR 1 = n - 1

利用这个小技巧，我们在使用链式前向星的时候初始化tot等于1，这样每天无向边看成的两条有向边会成对存储在ver和edge数组的下标为2和3，4和5…的位置上，通过对下标进行XOR1运算，就可以直接定位到当前边的反向的边。换句话说，如果ver[i]是第i条边的终点，那么ver[i xor1]就是第i条边的起点。
——《算法竞赛进阶指南》

放到代码里就是这样：

 while(fa[q]){//成对变换edge[fa[q]] = edge[fa[q]^1] = -1;q = ver[fa[q]^1];}

这里也可以tot = 0，我们直接把head数组置为-1，然后tot从0开始，因为成对变换0和1，2和3都是成立的。如果这样的话，我们就需要在边界上注意一下。
放到代码里就是这样：

fa[p] = -1;while(~fa[q]){//成对变换edge[fa[q]] = edge[fa[q]^1] = -1;q = ver[fa[q]^1];}

具体的看下面的代码就好

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<math.h>
#include<cstring>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<queue>
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
#define over(i,s,t) for(register int i = s;i <= t;++i)
#define lver(i,t,s) for(register int i = t;i >= s;--i)
//#define int __int128
#define lowbit(p) p&(-p)
using namespace std;typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e5+7;
const int M = 2007;
int n,k;
int ver[N << 1],edge[N << 1],nex[N << 1],head[N],tot = 1;
int fa[N];
bool vis[N];
int dis[N];void add(int u,int v,int val){ver[++tot] = v;edge[tot] = val;nex[tot] = head[u];head[u] = tot;
}void dfs(int x,int &t){//不能处理负值vis[x] = 1;for(int i = head[x];i;i = nex[i]){int y = ver[i],z = edge[i];if(vis[y])continue;dis[y] = dis[x] + z;if(dis[y] >= dis[t])t = y;fa[y] = i;//存路径,用于成对变换，存的是前向星的指针dfs(y,t);}vis[x] = 0;//回溯
}void DP(int x,int &t){//可以处理负值vis[x] = 1;for(int i= head[x];i;i = nex[i]){int y = ver[i],z = edge[i];if(vis[y])continue;DP(y,t);t = max(t,dis[x] + dis[y] + z);dis[x] = max(dis[x],dis[y] + z);}
}int main()
{scanf("%d%d",&n,&k);over(i,1,n-1){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);add(x,y,1);add(y,x,1);}int p = 1;//两次dfs找最远的p和qdfs(1,p);dis[p] = fa[p] = 0;//找到之后把它当成根节点int q = p;dfs(p,q);int ans = ((n - 1) * 2) - dis[q] + 1;// + 1是因为新增了一条必须走一次的边if(k == 2){while(fa[q]){//成对变换edge[fa[q]] = edge[fa[q]^1] = -1;q = ver[fa[q]^1];}q = 0;memset(dis,0,sizeof dis);DP(p,q);ans -= q - 1;}printf("%d\n",ans);return 0;
}

另一种初始化的成对变换

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<math.h>
#include<cstring>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<queue>
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
#define over(i,s,t) for(register int i = s;i <= t;++i)
#define lver(i,t,s) for(register int i = t;i >= s;--i)
//#define int __int128
#define lowbit(p) p&(-p)
using namespace std;typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e5+7;
const int M = 2007;
int n,k;
int ver[N << 1],edge[N << 1],nex[N << 1],head[N],tot;
int fa[N];
bool vis[N];
int dis[N];void add(int u,int v,int val){ver[tot] = v;edge[tot] = val;nex[tot] = head[u];head[u] = tot ++ ;
}void dfs(int x,int &t){//不能处理负值vis[x] = 1;for(int i = head[x];~i;i = nex[i]){int y = ver[i],z = edge[i];if(vis[y])continue;dis[y] = dis[x] + z;if(dis[y] >= dis[t])t = y;fa[y] = i;//存路径,用于成对变换，存的是前向星的指针dfs(y,t);}vis[x] = 0;//回溯
}void DP(int x,int &t){//可以处理负值vis[x] = 1;for(int i= head[x];~i;i = nex[i]){int y = ver[i],z = edge[i];if(vis[y])continue;DP(y,t);t = max(t,dis[x] + dis[y] + z);dis[x] = max(dis[x],dis[y] + z);}
}int main()
{scanf("%d%d",&n,&k);memset(head,-1,sizeof head);over(i,1,n-1){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);add(x,y,1);add(y,x,1);}int p = 1;//两次dfs找最远的p和qdfs(1,p);dis[p] = 0;//找到之后把它当成根节点fa[p] = -1;int q = p;dfs(p,q);int ans = ((n - 1) * 2) - dis[q] + 1;// + 1是因为新增了一条必须走一次的边if(k == 2){while(~fa[q]){//成对变换edge[fa[q]] = edge[fa[q]^1] = -1;q = ver[fa[q]^1];}q = 0;memset(dis,0,sizeof dis);DP(p,q);ans -= q - 1;}printf("%d\n",ans);return 0;
}

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