线段树成段更新操作及Lazy思想（POJ3468解题报告）

标签： treequerybuildn2cstruct
2011-11-03 20:37 5756人阅读 评论(0) 收藏 举报
 分类：
POJ解题报告（5）  数据结构（21） 

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就直接那POJ上面的例题来说吧，http://poj.org/problem?id=3468。

此题题意很好懂：

给你N个数，Q个操作，操作有两种，‘Q a b ’是询问a~b这段数的和，‘C a b c’是把a~b这段数都加上c。

需要用到线段树的，update:成段增减，query:区间求和

介绍Lazy思想：lazy－tag思想，记录每一个线段树节点的变化值，当这部分线段的一致性被破坏我们就将这个变化值传递给子区间，大大增加了线段树的效率。

在此通俗的解释我理解的Lazy意思，比如现在需要对[a,b]区间值进行加c操作，那么就从根节点[1,n]开始调用update函数进行操作，如果刚好执行到一个子节点，它的节点标记为rt，这时tree[rt].l == a && tree[rt].r == b 这时我们可以一步更新此时rt节点的sum[rt]的值，sum[rt] += c * (tree[rt].r - tree[rt].l + 1)，注意关键的时刻来了，如果此时按照常规的线段树的update操作，这时候还应该更新rt子节点的sum[]值，而Lazy思想恰恰是暂时不更新rt子节点的sum[]值，到此就return，直到下次需要用到rt子节点的值的时候才去更新，这样避免许多可能无用的操作，从而节省时间 。

下面通过具体的代码来说明之。（此处的函数名和宏学习了小HH的代码风格）

在此先介绍下代码中的函数说明：

#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1

宏定义左儿子lson和右儿子rson，貌似用宏的速度要慢。

PushUp(rt)：通过当前节点rt把值递归向上更新到根节点

PushDown(rt)：通过当前节点rt递归向下去更新rt子节点的值

rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

[cpp] view plaincopy print?
  1. __int64 sum[N<<2],add[N<<2];
  2. struct Node
  3. {
  4. int l,r;
  5. int mid()
  6. {
  7. return (l+r)>>1;
  8. }
  9. } tree[N<<2];

这里定义数据结构sum用来存储每个节点的子节点数值的总和，add用来记录该节点的每个数值应该加多少

tree[].l tree[].r分别表示某个节点的左右区间，这里的区间是闭区间

下面直接来介绍update函数，Lazy操作主要就是用在这里

[cpp] view plaincopy print?
  1. void update(int c,int l,int r,int rt)//表示对区间[l,r]内的每个数均加c，rt是根节点
  2. {
  3. if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r)
  4. {
  5. add[rt] += c;
  6. sum[rt] += (__int64)c * (r-l+1);
  7. return;
  8. }
  9. if(tree[rt].l == tree[rt].r) return;
  10. PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
  11. int m = tree[rt].mid();
  12. if(r <= m) update(c,l,r,rt<<1);
  13. else if(l > m) update(c,l,r,rt<<1|1);
  14. else
  15. {
  16. update(c,l,m,rt<<1);
  17. update(c,m+1,r,rt<<1|1);
  18. }
  19. PushUp(rt);
  20. }

if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r) 这里就是用到Lazy思想的关键时刻 正如上面说提到的，这里首先更新该节点的sum[rt]值，然后更新该节点具体每个数值应该加多少即add[rt]的值，注意此时整个函数就运行完了，直接return，而不是还继续向子节点继续更新，这里就是Lazy思想，暂时不更新子节点的值。

那么什么时候需要更新子节点的值呢？答案是在某部分update操作的时候需要用到那部分没有更新的节点的值的时候，这里可能有点绕口。这时就掉用PushDown()函数更新子节点的数值。

[cpp] view plaincopy print?
  1. void PushDown(int rt,int m)
  2. {
  3. if(add[rt])
  4. {
  5. add[rt<<1] += add[rt];
  6. add[rt<<1|1] += add[rt];
  7. sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m>>1));
  8. sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m>>1);
  9. add[rt] = 0;//更新后需要还原
  10. }
  11. }

PushDown就是从当前根节点rt向下更新每个子节点的值，这段代码读者可以自己好好理解，这也是Lazy的关键。

接着就是update操作的三个if语句了，这里我曾经一直不理解，多亏nyf队友的指点，借此感谢之。

下面再解释query函数，也就是用这个函数来求区间和

[cpp] view plaincopy print?
  1. __int64 query(int l,int r,int rt)
  2. {
  3. if(l == tree[rt].l && r == tree[rt].r)
  4. {
  5. return sum[rt];
  6. }
  7. PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
  8. int m = tree[rt].mid();
  9. __int64 res = 0;
  10. if(r <= m) res += query(l,r,rt<<1);
  11. else if(l > m) res += query(l,r,rt<<1|1);
  12. else
  13. {
  14. res += query(l,m,rt<<1);
  15. res += query(m+1,r,rt<<1|1);
  16. }
  17. return res;
  18. }

第一个if还是区间的判断和前面update的一样，到这里就可以知道答案了，所以就直接return。

接下来的查询就需要用到rt子节点的值了，由于我们用了Lazy操作，这段的数值还没有更新，因此我们需要调用PushDown函数去更新之，满足if(add[rt])就说明还没有更新。

到这里整个Lazy思想就算介绍结束了，可能我的语言组织不是很好，如果有不理解的地方可以给我留言，我再解释大家的疑惑。

PS：今天总算是对线段树入门了。

这里推荐一下，完全版线段树网址

下面贴出POJ3468完整的代码http://www.notonlysuccess.com/index.php/segment-tree-complete/，这里面有很飘逸的线段树代码，表示其update和query写的很巧妙，代码量也比较少，大家可以去学习。

[cpp] view plaincopy print?
  1. #include <iostream>
  2. #include <cstdio>
  3. using namespace std;
  4. const int N = 100005;
  5. #define lson l,m,rt<<1
  6. #define rson m+1,r,rt<<1|1
  7. __int64 sum[N<<2],add[N<<2];
  8. struct Node
  9. {
  10. int l,r;
  11. int mid()
  12. {
  13. return (l+r)>>1;
  14. }
  15. } tree[N<<2];
  16. void PushUp(int rt)
  17. {
  18. sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
  19. }
  20. void PushDown(int rt,int m)
  21. {
  22. if(add[rt])
  23. {
  24. add[rt<<1] += add[rt];
  25. add[rt<<1|1] += add[rt];
  26. sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m>>1));
  27. sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m>>1);
  28. add[rt] = 0;
  29. }
  30. }
  31. void build(int l,int r,int rt)
  32. {
  33. tree[rt].l = l;
  34. tree[rt].r = r;
  35. add[rt] = 0;
  36. if(l == r)
  37. {
  38. scanf("%I64d",&sum[rt]);
  39. return ;
  40. }
  41. int m = tree[rt].mid();
  42. build(lson);
  43. build(rson);
  44. PushUp(rt);
  45. }
  46. void update(int c,int l,int r,int rt)
  47. {
  48. if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r)
  49. {
  50. add[rt] += c;
  51. sum[rt] += (__int64)c * (r-l+1);
  52. return;
  53. }
  54. if(tree[rt].l == tree[rt].r) return;
  55. PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
  56. int m = tree[rt].mid();
  57. if(r <= m) update(c,l,r,rt<<1);
  58. else if(l > m) update(c,l,r,rt<<1|1);
  59. else
  60. {
  61. update(c,l,m,rt<<1);
  62. update(c,m+1,r,rt<<1|1);
  63. }
  64. PushUp(rt);
  65. }
  66. __int64 query(int l,int r,int rt)
  67. {
  68. if(l == tree[rt].l && r == tree[rt].r)
  69. {
  70. return sum[rt];
  71. }
  72. PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
  73. int m = tree[rt].mid();
  74. __int64 res = 0;
  75. if(r <= m) res += query(l,r,rt<<1);
  76. else if(l > m) res += query(l,r,rt<<1|1);
  77. else
  78. {
  79. res += query(l,m,rt<<1);
  80. res += query(m+1,r,rt<<1|1);
  81. }
  82. return res;
  83. }
  84. int main()
  85. {
  86. int n,m;
  87. while(~scanf("%d %d",&n,&m))
  88. {
  89. build(1,n,1);
  90. while(m--)
  91. {
  92. char ch[2];
  93. scanf("%s",ch);
  94. int a,b,c;
  95. if(ch[0] == 'Q')
  96. {
  97. scanf("%d %d", &a,&b);
  98. printf("%I64d\n",query(a,b,1));
  99. }
  100. else
  101. {
  102. scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
  103. update(c,a,b,1);
  104. }
  105. }
  106. }
  107. return 0;
  108. }

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