摘要：针对于一些不太适合因式分解或者留数方法进行Laplace逆变换的问题，通过数值求解可以比较方便获得时域波形。本文给出了利用梯形积分方法进行Laplace逆变换，对于指数衰减周期方波进行逆变换。通过结果也指出了原来题目中使用exp(-3t)进行衰减所能够获得波形与题目给定的相差甚远。

关键词： 拉普拉斯变换，Laplace逆变换，数值计算，梯形积分

§01 练习题内容

下面信号是有指数衰减信号 e−3te^{ - 3t}e−3t和一个周期矩形信号 xp(t)x_p \left( {} t\right)xp(t) 的相乘结果。求：信号 x(t)x\left( t \right)x(t) 的拉氏变换。

xp(t)=∑n=0+∞u(t−2n)−u(t−2n−1)x_p \left( t \right) = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {u\left( {t - 2n} \right) - u\left( {t - 2n - 1} \right)}xp(t)=n=0∑+∞u(t−2n)−u(t−2n−1)

§02 经典求解方法

解：周期矩形脉冲信号的周期为2，第一个周期内的信号为：x1(t)=u(t)−u(t−1)x_1 \left( t \right) = u\left( t \right) - u\left( {t - 1} \right)x1(t)=u(t)−u(t−1)

它对应的拉普拉斯变换为：X1(s)=1s(1−e−s)X_1 \left( s \right) = {1 \over s}\left( {1 - e^{ - s} } \right)X1(s)=s1(1−e−s)

周期矩形信号的拉普拉斯变换为：
Xp(s)=X1(s)1−e−2s=1s(1−e−s)11−e−2s=1s(1+e−s)X_p \left( s \right) = {{X_1 \left( s \right)} \over {1 - e^{ - 2s} }} = {1 \over s}\left( {1 - e^{ - s} } \right){1 \over {1 - e^{ - 2s} }} = {1 \over {s\left( {1 + e^{ - s} } \right)}}Xp(s)=1−e−2sX1(s)=s1(1−e−s)1−e−2s1=s(1+e−s)1

再根据s与平移性质：Xp(s)=1(s+3)(1+e−(s+3))X_p \left( s \right) = {1 \over {\left( {s + 3} \right)\left( {1 + e^{ - \left( {s + 3} \right)} } \right)}}Xp(s)=(s+3)(1+e−(s+3))1

§03 逆拉普拉斯变换

这个题目如果从时域波形求对应的拉普拉斯变换，根据上述过程就可以。但如果从X(s)X\left( s \right)X(s)反过来，求对应的时域信号，使用留数方法、因式分解法都不太容易。那么如何验证上述拉普拉斯变化是正确的呢？

1.逆Laplace数值计算

在 Laplace数值逆运算的讨论 讨论使用数值积分方法来求取信号Laplace逆变的方法。

对应的Laplace数值逆变换Python程序如下：

#------------------------------------------------------------
def invlt(t, fs, sigma, omiga, nint):omigadim = linspace(0, omiga, nint+1, endpoint=True)y = [(exp(1j*o*t) * fs(sigma+1j*o)).real for o in omigadim]y_left = y[:-1]y_right = y[0:]T = sum(y_right + y_left) * omiga/nintreturn exp(sigma*t) * T/ pi / 2#------------------------------------------------------------
def fs(s):return 1/(s*s+1)#------------------------------------------------------------
sigma = 0.2
omiga=200
nint=omiga*50tdim = linspace(0, 2*pi* 3, 200)
ft = [invlt(t, fs, sigma, omiga, nint) for t in tdim]

在使用上述程序时，需要

对变量sigma设置正确取值，它应该是最右边的极点对应的实部大一点；
定义函数 fs(s)

2.本题参数

在本题中，极点包括：

实轴上 -3 处极点；
在虚轴上，每个2π有无穷多个极点；

所以 sigma=0.1sigma = 0.1sigma=0.1。

3.数值计算结果

按照原题给出的参数，绘制出e−3te^{ - 3t}e−3t衰减下波形。下面是对应的fs(s)函数定义。

def fs(s):return 1/((s+0.2)*(1+exp(-(s+0.2))))

变换出的结果如下。这与题目给定的示意图相差甚远。

^{▲ exp(-3t)衰减的脉冲方波信号}

不过自己分析一下也马上会明白，实际上由于e−3te^{ - 3t}e−3t衰减过快，所以最终只剩下第一个周期半个波形，随后的波形都衰减接近0.

将原来的函数参数修改一下，将指数衰减修改为：e−0.1te^{ - 0.1t}e−0.1t。计算的波形如下图所示。这就与原题绘制的波形很接近了。

def fs(s):return 1/((s+0.1) * (1+exp(s+0.1)))

^{▲ exp(-0.1t)衰减的脉冲方波信号}

^{▲ exp(-0.2t)衰减的脉冲方波信号}

※ 结论讨论

针对于一些不太适合因式分解或者留数方法进行Laplace逆变换的问题，通过数值求解可以比较方便获得时域波形。本文给出了利用梯形积分方法进行Laplace逆变换，对于指数衰减周期方波进行逆变换。通过结果也指出了原来题目中使用exp(-3t)进行衰减所能够获得波形与题目给定的相差甚远。

■ 相关文献链接:

Laplace数值逆运算的讨论

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