一、数值计算方法概览

1、研究对象：数值问题——有限个输入数据（问题的自变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之间函数关系的一个明确无歧义的描述。

例如，求解微分方程的符号解即可看做无限输出，是数学问题；求解微分方程在某些点的近似值即为数值问题。

2、数值问题来源

一般过程为，实际问题建立数学模型，得到数值问题，编程求解，得到近似解

3、数值计算方法设计原则

①可靠性

• 收敛性，即算法可行性
• 稳定性，即对初始点的依赖程度
• 误差估计，即误差可控

②计算复杂性

• 逻辑复杂度(算法易于理解）
• 时间复杂度
• 空间复杂度

二、误差

1、分类

• 模型误差：从实际问题中抽出模型的误差
• 观测误差：通过观测得到模型中的值的误差
• 方法误差：得不到精确解的模型常用数值方法求近似解。通常用泰勒公式的有限项对无穷截断，所以又叫做截断误差
• 舍入误差：机器字长有限四舍五入带来的误差

2、基本概念

①绝对误差：

绝对误差简称误差，可正可负长为无限位，通常情况下，不能完全表示近似值的好坏

--绝对误差限：是指绝对误差绝对值的上界。因为精确值往往不知道，所以绝对误差也一般求不出来，只好求误差绝对值的上界，

一般的，凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位，通常为1/2×10^？的形式，便于看出有效数字位数。例如

②相对误差：绝对误差与准确值的比值

③有效数字：近似值与准确值的误差绝对值不超过某一位的半个单位

例如3.141592（6）,有效数字为6位，3.14（1）为3位

有效数：若

④有效数字与相对误差的关系：

-

证明：

-

证明：

--两个的思路就是把

3、数值算法及稳定性

①多项式求值：秦九韶算法介绍

②近似计算

首先，将

截断误差：

舍入误差：

舍入误差<0.0005+0.0005=0.001

总误差<0.005+0.001=0.006

③算法稳定性比较：

一个算法如果输入数据有扰动（即误差），而计算过程中舍入误差不增长,则称此算法是数值稳定的，否则此算法就称为不稳定的。 算法稳定性与机器无关，只与算法有关。

算法一：由

首先计算

初始的扰动迅速积累，误差迅速增加，这是不稳定的算法

算法二：由

首先估计一个

可取足够大的N估算，

误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法

④病态问题

数学问题本身如果输入数据有微小扰动，就会引起输出数据（即问题真解）的很大扰动，这就是病态问题。病态问题是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。

举例：蝴蝶效应。其大意为，一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯引 起一场龙卷风。

4、误差分析的方法和原则

①误差分析的方法

i）向前误差分析法（重点）——一步四则运算（还没明白这个名字是怎么起的）

推导：

plus，

即

其他多元情况可用多元泰勒展开同理推导

ii）向后误差分析法：把舍入误差的累积与导出的

误差）等价起来，即令

利用摄动理论，由

iii）区间分析法：把参加运算的数都看成区间量，根据区间运算规则求得最后结果的近似值和误差限。

iv)概率分析法：利用概率统计方法，将数据和运算中的舍入误差视为适合某种分布的随机变量，然后确定计算结果的误差分布。

②几点计算的注意事项

i）尽量避免相近的数直接相减（有效数字会减少）有理化

例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效数字。 而 a2-a1 = 0.00001，只剩下最多1位有效数字。

经验性做法：

分子有理化，将根式相减转化为相加；

ln类型相减尽量放进去用除法；

利用一些三角恒等式：如

利用泰勒展开式：如

例题：

解：令

原式=

ii）尽量避免绝对值小的数做分母

iii）尽量避免大数吃小数

例：用单精度计算

求根公式求解，

因为在计算机内，

做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即

经验性做法是用韦达定理求解小根

再有就是求和时从小到大相加误差会变小，小数积累变大会使误差减小

iv）先化简，减少计算步骤，从而避免误差积累

一般来说，计算机运算速度( +-)>(×÷)>exp

v）选用数值稳定的算法

算法设计还要要避免死循环、尽量节省存储空间、尽量减少中间结果的显示和输出、避免实数相等比较，可使用双精度.........

三、计算机的数系结构

计算机的数系是一个不完整的数系。计算机只能表示有限个数，即计算机的精度是有限的

计算机内部运算是按固定的有限位数进行的，也就是按固定位数的有限位浮点数进行运算的

浮点数系统由四个整数表征：基

计算机所表示的数的集合(规格化浮点数系)：

其中尾数部分，以t为字长；指数部分，以j为阶

若

一般的机器数有单精度和双精度之分，通常单精度为32位，双精度为64位，它们是正负号，阶码和尾数所占二进制的总长度。

32位：1位阶码正负号+7位阶码+1位尾数正负号+23位尾数

64位：1位阶码正负号+10位阶码+1位尾数正负号+52位尾数

计算机数系主要特点总结如下：

1. 不完整,只能表示有限个数。
2. 不是均匀分布，绝对值越大越疏，越小越密
3. 由4个整数唯一决定，0是够小的数
4. 应用标准浮点数系统
5. 一般单精度相对误差为十进制
   ,双精度相对误差为十进制

绪论粗略完结，边学边补充。欢迎批评指正。