BZOJ 1592. Making the Grade（思维，数据结构优化DP，以及三个拓展问题）[Usaco2008 Feb]【BZOJ计划】

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BZOJ 1592. Making the Grade

Weblink

https://hydro.ac/d/bzoj/p/1592

Problem

Solution

题目要求通过修改得到非严格单调递增或递减的序列，也就是说可以相等。所以这里有一个非常显然的结论：最少的修改次数得到非严格单调的序列，修改后的得到的数一定是原序列里的数。（因为可以相等，贪心的想一想，为什么）

那么显然我们可以设 f[i,j]f[i,j]f[i,j] 表示序列中第 iii 个数修改为原序列里第 jjj 个数的最少修改次数。

题目中序列可以为非严格单调递增或者非严格单调递减，所以我们将原序列复制为 bbb 数组，将 bbb 递增排序进行DP，然后递减排序进行DP取二者最小值即可。

显然有转移方程：

f[i,j]=min⁡{f[i−1,k]+abs(a[i]−b[j]),1≤k≤j}f[i,j]=\min\{f[i-1,k]+\text{abs}(a[i]-b[j]),1\le k\le j\} f[i,j]=min{f[i−1,k]+abs(a[i]−b[j]),1≤k≤j}

直接转移时间复杂度为 O(n3)O(n^3)O(n3)，n≤2000n\le 2000n≤2000，考虑优化。

考虑经典优化：数据结构优化。

显然有：

f[i,j]=min⁡{f[i−1,k]+abs(a[i]−b[j]),1≤k≤j}f[i,j]=min⁡{min⁡{f[i−1,k],1≤k≤j}+abs(a[i]−b[j])}f[i,j]=\min\{f[i-1,k]+\text{abs}(a[i]-b[j]),1\le k\le j\}\\ f[i,j]=\min\{\min\{f[i-1,k],1\le k\le j\}+\text{abs}(a[i]-b[j])\} f[i,j]=min{f[i−1,k]+abs(a[i]−b[j]),1≤k≤j}f[i,j]=min{min{f[i−1,k],1≤k≤j}+abs(a[i]−b[j])}

即决策集合中的元素只增不减，我们就可以用一个数据结构来维护这个决策集合，也即维护 min⁡{f[i−1,k],1≤k≤j}\min\{f[i-1,k],1\le k\le j\}min{f[i−1,k],1≤k≤j} 即可。

这里显然使用一个变量维护即可。

我们维护 num=min⁡{f[i−1,k],1≤k≤j}\text{num}=\min\{f[i-1,k],1\le k\le j\}num=min{f[i−1,k],1≤k≤j}，每次转移的时候直接取 num=min⁡{f[i,j],f[i−1,j]}\text{num}=\min\{f[i,j],f[i-1,j]\}num=min{f[i,j],f[i−1,j]}，在DP转移的时候 f[i,j]f[i,j]f[i,j] 直接用 num\text{num}num 进行更新即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
using namespace std;
const int maxn = 2e3 + 6, maxm = 1e6 + 7, INF = 0x3f3f3f3f;int n, m, s, t;
int a[maxn], b[maxn];
ll f[maxn][maxn];
ll ans;int main()
{ans = INF;scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; ++ i) {scanf("%d", &a[i]);b[i] = a[i];}memset(f, 0x3f, sizeof f);sort(b + 1, b + 1 + n);for (int j = 1; j <= n; ++ j)f[0][j] = 0;for (int i = 1; i <= n; ++ i) {ll num = INF;for (int j = 1; j <= n; ++ j) { num = min(num, f[i - 1][j]);f[i][j] = min(f[i][j], num + abs(a[i] - b[j]));}}for (int j = 1; j <= n; ++ j)ans = min(ans, f[n][j]);memset(f, 0x3f, sizeof f); reverse(b + 1, b + 1 + n);for (int i = 1; i <= n; ++ i) {ll num = INF;for (int j = 1; j <= n; ++ j) {num = min(num, f[i - 1][j]);f[i][j] = min(f[i][j], num + abs(a[i] - b[j]));}}for (int j = 1; j <= n; ++ j)ans = min(ans, f[n][j]);cout << ans << endl;return 0;
}

拓展问题一

拓展问题一：给定长度为 nnn 的整数序列 aaa ，求最少修改次数（修改操作可以任意修改数值），使得 aaa 非严格单调递增。（保证序列任意时刻均为整数）

Solution

显然问题的答案为 n−LISn-LISn−LIS，即贪心地使得不需要修改的数尽可能的多。

拓展问题二

拓展问题二：给定长度为 nnn 的整数序列 aaa ，求最少修改次数（修改操作可以任意修改数值），使得 aaa 严格单调递增。（保证序列任意时刻均为整数）

Solution

同样考虑贪心策略，使得不需要修改的数尽可能的多。

显然对于任意的 j>ij>ij>i ，iii 和 jjj 可以保留当且仅当
a[j]>a[i]anda[j]−a[i]≥j−ia[j]>a[i]\ \mathrm{and}\ a[j]-a[i]\ge j-i a[j]>a[i] and a[j]−a[i]≥j−i

也即

a[j]−j≥a[i]−ia[j]-j \ge a[i]-i a[j]−j≥a[i]−i

因此我们让 a[i] = a[i] - i，问题就转化为了问题一，答案为 n−LISn-LISn−LIS。

O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn) 求解新序列的 LISLISLIS 即可。

拓展问题三

Weblink

CF1437E Make It Increasing

Problem

给你一个数列 aaa，一个 kkk 个元素的集合 bbb ，对于每个 bbb 中的元素 xxx， axa_xax 不能修改，其他都可以修改，问最少多少次可以将 aaa 修改为严格单调递增的。如果不存在，输出 −1-1−1。

aaa 中的所有元素在任意时刻必须都是整数

1≤n≤5×105,1≤ai≤1091\le n\le5\times 10^5,1 \le a_i \le 10^91≤n≤5×105,1≤ai≤109。

Solution

本题增加了一个新限制条件，即有 kkk 个点不能修改。

显然是没有什么用的，我们将序列分为 k+1k+1k+1 段，分别对每段计算答案即可（段内有序，段间有序）。

二分 O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn) 计算 LISLISLIS 即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
using namespace std;
const int maxn = 5e5 + 6, maxm = 1e6 + 7, INF = 0x3f3f3f3f;int n, m, s, t;
int a[maxn], b[maxn];
ll f[maxn];
ll ans;
vector<int> LIS;int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; ++ i) {int x;scanf("%d", &x);a[i] = x - i;}a[0] = -INF; a[n + 1] = INF;for (int i = 1; i <= m; ++ i)scanf("%d", &b[i]);b[0] = 0; b[m + 1] = n + 1;for (int i = 0; i <= m; ++ i) {int l = b[i], r = b[i + 1];if (a[l] > a[r]) return 0 * puts("-1"); LIS.clear();for (int j = l + 1; j <= r - 1; ++ j) {if (a[j] >= a[l] && a[j] <= a[r]) {auto pos = upper_bound(LIS.begin(), LIS.end(), a[j]);if (pos == LIS.end()) LIS.push_back(a[j]);else *pos = a[j];}}ans += (r - l - 1) - LIS.size(); }cout << ans << endl;return 0;
}