dp进阶之FFT加速+数据结构优化+不等式优化
快速傅里叶变换
快速傅里叶变换（英语：Fast Fourier Transform, FFT），是快速计算序列的离散傅里叶变换（DFT）或其逆变换的方法。傅里叶分析将信号从原始域（通常是时间或空间）转换到频域的表示或者逆过来转换。FFT会通过把DFT矩阵分解为稀疏（大多为零）因子之积来快速计算此类变换。 因此，它能够将计算DFT的复杂度从只用DFT定义计算需要的 
快速傅里叶变换广泛的应用于工程、科学和数学领域。这里的基本思想在1965年才得到普及，但早在1805年就已推导出来。 1994年美国数学家吉尔伯特·斯特朗把FFT描述为“我们一生中最重要的数值算法”，它还被IEEE科学与工程计算期刊列入20世纪十大算法
库利－图基快速傅里叶变换算法（Cooley-Tukey算法）是最常见的快速傅里叶变换算法。这一方法以分治法为策略递归地将长度为N = N1N2的DFT分解为长度分别为N1和N2的两个较短序列的DFT，以及与旋转因子的复数乘法。这种方法以及FFT的基本思路在1965年J. W. Cooley和J. W. Tukey合作发表An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series之后开始为人所知。但后来发现，实际上这两位作者只是重新发明了高斯在1805年就已经提出的算法（此算法在历史上数次以各种形式被再次提出）。
库利－图基算法最有名的应用，是将序列长为N的DFT分区为两个长为N/2的子序列的DFT，因此这一应用只适用于序列长度为2的幂的DFT计算，即基2-FFT。实际上，如同高斯和库利与图基都指出的那样，库利－图基算法也可以用于序列长度N为任意因数分解形式的DFT，即混合基FFT，而且还可以应用于其他诸如分裂基FFT等变种。尽管库利－图基算法的基本思路是采用递归的方法进行计算，大多数传统的算法实现都将显示的递归算法改写为非递归的形式。另外，因为库利－图基算法是将DFT分解为较小长度的多个DFT，因此它可以同任一种其他的DFT算法联合使用。
快速傅里叶变换是一个很有工程价值的算法，广泛地应用于音频、图像等数字信号处理软件中。傅里叶变换本身的理论很深，这里仅以快速多项式乘法为例介绍它在算法竞赛中的应用。快速傅里叶变换（FFT）是用来计算离散傅里叶变换（DFT)及其逆变换（IDFT）的快速算法。DFT把时域信号变换为频域信号。时域和频域只是两种信号分析的方法，并不是指两种不同类别的信号。DFT有一个很有意思的性质：时域卷积，频域乘积；频域卷积，时域乘积；如果你不知道什么是卷积（convolution),也没关系，请记住：多项式乘法实际上是多项式系数向量的卷积。
多项式乘法。给定两个单变量多项式A(x),B(x),次数均不超过n，如何快速计算二者的乘积呢？最简单的方法就是把系数两两相乘，再相加。这样计算的时间复杂度是 O（n^2),当n很大时，速度会很慢。注意，高精度整数的乘法是多项式乘法的特殊情况，所以多项式乘法的快速乘法也可以用来做高精度乘法。
上述算法之所以慢是因为表示方法不好。虽然”系数序列“是最自然的表示方法，但却不适合用来计算乘法。在多项式快速乘法中，需要用点值法来表示一个多项式，点值表示一个”点—值“对的序列{(x0,y0),(x1,y1).......(x(n-1),y(n-1))}，它代表一个多项式，点值法非常适合做乘法：只要两个多项式的点集{ xi }相同，则只需要把对应的值乘起来就可以了，只需要O(n)时间。但问题在于输入输出的时候仍需要采用传统的系数表示法，因此需要快速地在系数表示和点值表示之间转换。还记得上面那句话吗？时域卷积，频域乘积；也就是说，多项式的系数表示法对应于时域，而点值表示法对应于频域。因此，只需要用FFT计算出一个DFT，就可以完成转换。
单位根。这样算出来的点值表示法，对应的求值点是那些？答案是2n次单位根。所谓”n次单位根“，是指满足x^n=1的复数。在复数域，1恰好有n个单位根e^(2k*PI*i / n),其中i是虚数单位，e^(iu)=cos u+i*sin u.单位根非常特殊，因此FFT才可以在更短时间内求出多项式在这些点的取值。
利用FFT进行快速多项式乘法的步骤：
1.补0：在两个多项式的最前面补0，得到两个2n次多项式，设系数向量分别是V1和V2
2.求值：用FFT计算 f1=DFT(v1)和 f2=DFT(v2).这里的f1和f2分别是两个输入多项式在2n次单位根处的各个取值（即点值表示）
3.乘法：把两个向量f1和f2的每一维对应相乘，得到向量f。它对应多项式乘积的点值表示
4.插值：用FFT计算v=IDFT(f),其中n就是乘积的系数向量
多项式求值算法
给定多项式：A(x)=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+......+a(n-1)*x^(n-1)
设x为1的2n次方根，对所有的x计算A(x)的值
算法1：对每个x做下述运算，依次计算每个项 ai*x^i,(i=0,1,2,3....n-1),然后对 ai*x^i(i=0,1,2,3....n-1)求和
每一项都需要重新计算，时间复杂度是O(n^3)
算法2：依次对x做下述运算，减少不必要的重新计算，A1(x)=a(n-1),
数据结构优化
有时尽管状态找好了，转移方程的想好了，但时间复杂度比较大，需要用数据结构进行优化。常见的优化有二进制优化、单调队列优化、斜率优化、四边形不等式优化等。
1、二进制优化
主要是优化背包问题，背包九讲里面有介绍，比较简单，这里只附上几道题目。
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2、单调队列优化
推荐论文：http://wenku.baidu.com/view/4d23b4d128ea81c758f578ae.html
推荐博客：http://www.cnblogs.com/neverforget/archive/2011/10/13/ll.html
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3、斜率优化
推荐论文：用单调性优化动态规划
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4、四边形不等式优化
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四边形不等式优化
今天第一次学习四边形不等式优化dp，感觉优化效果十分给力，不过数学味道比较浓重，证明比较复杂。因此这里删繁就简，给出关于四边形不等式优化必须要明白的地方，以后直接套用条件即可。
四边形不等式优化条件
1.在动态规划中，经常遇到如下式的状态转移方程：
m(i,j) = min{ m(i,k-1),m(k,j) } + w(i,j) (i<=k<=j) (min也可以改为max）
m(i,j) 表示在【i，j】区间上的某个最优值，w(i,j)表示转移时需要付出的代价，该方程的时间复杂度为O(n^3).
2.下面我们用四边形不等式来优化上述方程：
（1）区间包含的单调性
如果对于 i <= i' < j <= j'，有w(i' , j) <= w(i , j') ,那么说明 W 具有区间包含的单调性。
（形象的理解为如果小区间包含于大区间，那么小区间的w值不超过大区间的w值）
（2）四边形不等式
如果对于 i <= i' < j <= j' ,有 w( i , j ) + w( i' , j' ) <= w ( i , j' )+w( i' , j' ) ,我们称函数w满足四边形不等式
（形象的理解为两个交错区间的和不超过小区间与大区间的和）
两个定理：
定理一：如果W函数同时满足区间包含的单调性和四边形不等式，那么函数m也满足四边形不等式
我们再定义S(i,j)表示m(i,j)取得最优值时对应的下标，（即 i<= k <= j 时，k处的w值最大，则s(i,j)=k )
此时有如下定理：
定理二：假如 m(i,j)满足四边形不等式，那么s(i,j)单调，即 s(i,j) <= s(i,j+1) <= s(i+1,j+1)
有了上述两个定理后，如果w函数满足区间包含单调性和四边形不等式性质，那么有s(i,j-1) <= s(i,j) <= s(i+1,j)
原来的状态转移方程可以改写为下式：
m(i,j)=min{m(i,k-1),m(k,j)}+w(i,j) (min也可以改为max）
由于这个方程枚举的是区间长度L=j-i，而s(i,j-1)和s(i-1,j)的区间长度为L-1，是之前已经计算过的，可以直接调用。不仅如此，区间的长度最多有n个，对于固定的长度L，不同的状态也有n个，故时间复杂度为O(n^2),而原来的复杂度为O(n^3),实现了四边形不等式的优化。今后只需要根据方程的形式，以及w函数是否满足上述两条性质，即可考虑使用四边形不等式来优化。
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