1. 前言

隐马尔科夫HMM模型是一类重要的机器学习方法，其主要用于序列数据的分析，广泛应用于语音识别、文本翻译、序列预测、中文分词等多个领域。虽然近年来，由于RNN等深度学习方法的发展，HMM模型逐渐变得不怎么流行了，但并不意味着完全退出应用领域，甚至在一些轻量级的任务中仍有应用。本系列博客将详细剖析隐马尔科夫链HMM模型，同以往网络上绝大多数教程不同，本系列博客将更深入地分析HMM，不仅包括估计序列隐状态的维特比算法(HMM解码问题)、前向后向算法等，而且还着重的分析HMM的EM训练过程，并将所有的过程都通过数学公式进行推导。

由于隐马尔科夫HMM模型是一类非常复杂的模型，其中包含了大量概率统计的数学知识，因此网络上多数博客一般都采用举例等比较通俗的方式来介绍HMM，这么做会让初学者很快明白HMM的原理，但要丢失了大量细节，让初学者处于一种似懂非懂的状态。而本文并没有考虑用非常通俗的文字描述HMM，还是考虑通过详细的数学公式来一步步引导初学者掌握HMM的思想。另外，本文重点分析了HMM的EM训练过程，这是网络上其他教程所没有的，而个人认为相比于维特比算法、前向后向算法，HMM的EM训练过程虽然更为复杂，但是一旦掌握这个训练过程，那么对于通用的链状图结构的推导、EM算法和网络训练的理解都会非常大的帮助。另外通过总结HMM的数学原理，也能非常方便将数学公式改写成代码。

最后，本文提供了一个简单版本的隐马尔科夫链HMM的Python代码，包含了高斯模型的HMM和离散HMM两种情况，代码中包含了HMM的训练、预测、解码等全部过程，核心代码总共只有200~300行代码，非常简单！个人代码水平比较渣=_=||，大家按照我的教程，应该都可以写出更鲁棒性更有高效的代码，附上Github地址：https://github.com/tostq/Easy_HMM

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重要的事要说三遍！！！！

为了方便大家学习，我将整个HMM代码完善成整个学习项目，其中包括

hmm.py：HMM核心代码，包含了一个HMM基类，一个高斯HMM模型及一个离散HMM模型

DiscreteHMM_test.py及GaussianHMM_test.py：利用unnitest来测试我们的HMM，同时引入了一个经典HMM库hmmlearn作为对照组

Dice_01.py：利用离散HMM模型来解决丢色子问题的例子

Wordseg_02.py：解决中文分词问题的例子

Stock_03.py：解决股票预测问题的例子

2. 隐马尔科夫链HMM的背景

首先，已知一组序列 ：

我们从这组序列中推导出产生这组序列的函数，假设函数参数为 ，其表示为

即使得序列X发生概率最大的函数参数，要解决上式，最简单的考虑是将序列 的每个数据都视为独立的，比如建立一个神经网络。然后这种考虑会随着序列增长，而导致参数爆炸式增长。因此可以假设当前序列数据只与其前一数据值相关，即所谓的一阶马尔科夫链：

有一阶马尔科夫链，也会有二阶马尔科夫链(即当前数据值取决于其前两个数据值)

当前本文不对二阶马尔科夫链进行深入分析了，着重考虑一阶马尔科夫链，现在根据一阶马尔科夫链的假设，我们有：

因此要解一阶马尔科夫链，其关键在于求数据(以下称观测值)之间转换函数 ，如果假设转换函数

同序列中位置 (时间)无关，我们就能根据转换函数

而求出整个序列的概率：

然而，如果观测值x的状态非常多(特别极端的情况是连续数据)，转换函数

会变成一个非常大的矩阵，如果x的状态有K个，那么转换函数

就会是一个K*(K-1)个参数，而且对于连续变量观测值更是困难。

为了降低马尔科夫链的转换函数的参数量，我们引入了一个包含较少状态的隐状态值，将观测值的马尔科夫链转换为隐状态的马尔科夫链(即为隐马尔科夫链HMM)

其包含了一个重要假设：当前观测值只由当前隐状态所决定。这么做的一个重要好处是，隐状态值的状态远小于观测值的状态，因此隐藏状态的转换函数

的参数更少。

此时我们要决定的问题是：

即在所有可能隐藏状态序列情况下，求使得序列 发生概率最大的函数参数 。

这里我们再总结下：

隐马尔科夫链HMM三个重要假设：

1. 当前观测值只由当前隐藏状态确定，而与其他隐藏状态或观测值无关(隐藏状态假设)

2. 当前隐藏状态由其前一个隐藏状态决定(一阶马尔科夫假设)

3. 隐藏状态之间的转换函数概率不随时间变化(转换函数稳定性假设)

隐马尔科夫链HMM所要解决的问题：

在所有可能隐藏状态序列情况下，求使得当前序列X产生概率最大的函数参数θ。

代码

http://blog.csdn.net/sinat_36005594/article/details/69568538

前几天用MATLAB实现了HMM的代码，这次用python写了一遍，依据仍然是李航博士的《统计学习方法》

由于第一次用python，所以代码可能会有许多缺陷，但是所有代码都用书中的例题进行了测试，结果正确。

这里想说一下python，在编写HMM过程中参看了之前写的MATLAB程序，发现他们有太多相似的地方，用到了numpy库，在python代码过程中最让我头疼的是数组角标，和MATLAB矩阵角标从1开始不同，numpy库数组角标都是从0开始，而且数组的维数也需要谨慎，一不小心就会出现too many indices for array的错误。程序中最后是维特比算法，在运行过程中出现了__main__:190: VisibleDeprecationWarning: using a non-integer number instead of an integer will result in an error in the future的警告，还没有去掉这个警告，查了一下说不影响结果，后面会去解决这个问题，下面贴出我的代码

#-*- coding: utf-8 -*-

"""Created on Thu Feb 16 19:28:39 2017

2017-4-2

ForwardBackwardAlg函数功能：实现前向算法

理论依据：李航《统计学习方法》

2017-4-5

修改了ForwardBackwardAlg函数名称为ForwardAlgo以及输出的alpha数组形式

完成了BackwardAlgo函数功能：后向算法

以及函数FBAlgoAppli：计算在观测序列和模型参数确定的情况下，

某一个隐含状态对应相应的观测状态的概率

2017-4-6

完成BaumWelchAlgo函数一次迭代

2017-4-7

实现维特比算法

@author: sgp"""

importnumpy as np#输入格式如下：#A = np.array([[.5,.2,.3],[.3,.5,.2],[.2,.3,.5]])#B = np.array([[.5,.5],[.4,.6],[.7,.3]])#Pi = np.array([[.2,.4,.4]])#O = np.array([[1,2,1]])

#应用ndarray在数组之间进行相互运算时，一定要确保数组维数相同！#比如：#In[93]:m = np.array([1,2,3,4])#In[94]:m#Out[94]: array([1, 2, 3, 4])#In[95]:m.shape#Out[95]: (4,)#这里表示的是一维数组#In[96]:m = np.array([[1,2,3,4]])#In[97]:m#Out[97]: array([[1, 2, 3, 4]])#In[98]:m.shape#Out[98]: (1, 4)#而这里表示的就是二维数组#注意In[93]和In[96]的区别,多一对中括号！！

#N = A.shape[0]为数组A的行数， H = O.shape[1]为数组O的列数#在下列各函数中，alpha数组和beta数组均为N*H二维数组，也就是横向坐标是时间，纵向是状态

defForwardAlgo(A,B,Pi,O):

N= A.shape[0]#数组A的行数

M = A.shape[1]#数组A的列数

H = O.shape[1]#数组O的列数

sum_alpha_1=np.zeros((M,N))

alpha=np.zeros((N,H))

r= np.zeros((1,N))

alpha_1= np.multiply(Pi[0,:], B[:,O[0,0]-1])

alpha[:,0]= np.array(alpha_1).reshape(1,N)#alpha_1是一维数组，在使用np.multiply的时候需要升级到二维数组。#错误是IndexError: too many indices for array

for h in range(1,H):for i inrange(N):for j inrange(M):

sum_alpha_1[i,j]= alpha[j,h-1] *A[j,i]

r= sum_alpha_1.sum(1).reshape(1,N)#同理，将数组升级为二维数组

alpha[i,h] = r[0,i] * B[i,O[0,h]-1]#print("alpha矩阵: \n %r" % alpha)

p = alpha.sum(0).reshape(1,H)

P= p[0,H-1]#print("观测概率: \n %r" % P)

#return alpha

returnalpha, PdefBackwardAlgo(A,B,Pi,O):

N= A.shape[0]#数组A的行数

M = A.shape[1]#数组A的列数

H = O.shape[1]#数组O的列数

#beta = np.zeros((N,H))

sum_beta = np.zeros((1,N))

beta=np.zeros((N,H))

beta[:,H-1] = 1p_beta= np.zeros((1,N))for h in range(H-1,0,-1):for i inrange(N):for j inrange(M):

sum_beta[0,j]= A[i,j] * B[j,O[0,h]-1] *beta[j,h]

beta[i,h-1] = sum_beta.sum(1)#print("beta矩阵: \n %r" % beta)

for i inrange(N):

p_beta[0,i]= Pi[0,i] * B[i,O[0,0]-1] *beta[i,0]

p= p_beta.sum(1).reshape(1,1)#print("观测概率: \n %r" % p[0,0])

returnbeta, p[0,0]defFBAlgoAppli(A,B,Pi,O,I):#计算在观测序列和模型参数确定的情况下，某一个隐含状态对应相应的观测状态的概率

#例题参考李航《统计学习方法》P189习题10.2

#输入格式：

#I为二维数组，存放所求概率P(it = qi,O|lambda)中it和qi的角标t和i，即P=[t,i]

alpha,p1 =ForwardAlgo(A,B,Pi,O)

beta,p2=BackwardAlgo(A,B,Pi,O)

p= alpha[I[0,1]-1,I[0,0]-1] * beta[I[0,1]-1,I[0,0]-1] /p1returnpdefGetGamma(A,B,Pi,O):

N= A.shape[0]#数组A的行数

H = O.shape[1]#数组O的列数

Gamma =np.zeros((N,H))

alpha,p1=ForwardAlgo(A,B,Pi,O)

beta,p2=BackwardAlgo(A,B,Pi,O)for h inrange(H):for i inrange(N):

Gamma[i,h]= alpha[i,h] * beta[i,h] /p1returnGammadefGetXi(A,B,Pi,O):

N= A.shape[0]#数组A的行数

M = A.shape[1]#数组A的列数

H = O.shape[1]#数组O的列数

Xi = np.zeros((H-1,N,M))

alpha,p1=ForwardAlgo(A,B,Pi,O)

beta,p2=BackwardAlgo(A,B,Pi,O)for h in range(H-1):for i inrange(N):for j inrange(M):

Xi[h,i,j]= alpha[i,h] * A[i,j] * B[j,O[0,h+1]-1] * beta[j,h+1] /p1#print("Xi矩阵: \n %r" % Xi)

returnXidefBaumWelchAlgo(A,B,Pi,O):

N= A.shape[0]#数组A的行数

M = A.shape[1]#数组A的列数

Y = B.shape[1]#数组B的列数

H = O.shape[1]#数组O的列数

c =0

Gamma=GetGamma(A,B,Pi,O)

Xi=GetXi(A,B,Pi,O)

Xi_1=Xi.sum(0)

a=np.zeros((N,M))

b=np.zeros((M,Y))

pi= np.zeros((1,N))

a_1= np.subtract(Gamma.sum(1),Gamma[:,H-1]).reshape(1,N)for i inrange(N):for j inrange(M):

a[i,j]= Xi_1[i,j] /a_1[0,i]#print(a)

for y inrange(Y):for j inrange(M):for h inrange(H):if O[0,h]-1 ==y:

c= c +Gamma[j,h]

gamma= Gamma.sum(1).reshape(1,N)

b[j,y]= c /gamma[0,j]

c=0#print(b)

for i inrange(N):

pi[0,i]=Gamma[i,0]#print(pi)

returna,b,pidef BaumWelchAlgo_n(A,B,Pi,O,n):#计算迭代次数为n的BaumWelch算法

for i inrange(n):

A,B,Pi=BaumWelchAlgo(A,B,Pi,O)returnA,B,Pidefviterbi(A,B,Pi,O):

N= A.shape[0]#数组A的行数

M = A.shape[1]#数组A的列数

H = O.shape[1]#数组O的列数

Delta =np.zeros((M,H))

Psi=np.zeros((M,H))

Delta_1= np.zeros((N,1))

I= np.zeros((1,H))for i inrange(N):

Delta[i,0]= Pi[0,i] * B[i,O[0,0]-1]for h in range(1,H):for j inrange(M):for i inrange(N):

Delta_1[i,0]= Delta[i,h-1] * A[i,j] * B[j,O[0,h]-1]

Delta[j,h]=np.amax(Delta_1)

Psi[j,h]= np.argmax(Delta_1)+1

print("Delta矩阵: \n %r" %Delta)print("Psi矩阵: \n %r" %Psi)

P_best= np.amax(Delta[:,H-1])

psi= np.argmax(Delta[:,H-1])

I[0,H-1] = psi + 1

for h in range(H-1,0,-1):

I[0,h-1] = Psi[I[0,h]-1,h]print("最优路径概率: \n %r" %P_best)print("最优路径: \n %r" % I)