2021年春季学期-信号与系统-第七次作业参考答案-第二小题
本文是 2021年春季学期-信号与系统-第七次作业参考答案 的小题的参考答案。
▌第二小题 ▌
2.求下面信号的频谱。
▓ 求解：
f(t)f\left( t \right)f(t)可以看成三角信号ft(t)f_t \left( t \right)ft(t)与方波信号fp(t)f_p \left( t \right)fp(t)的相乘。根据傅里叶变换时域乘积（频域卷积）定理，f(t)f\left( t \right)f(t)的频谱F(ω)F\left( \omega \right)F(ω)为：F(ω)=12πFT(ω)∗FP(ω)F\left( \omega \right) = {1 \over {2\pi }}F_T \left( \omega \right) * F_P \left( \omega \right)F(ω)=2π1FT(ω)∗FP(ω)
三角信号ft(t)f_t \left( t \right)ft(t)的傅里叶变换FT(ω)F_T \left( \omega \right)FT(ω)为：
FT(ω)=τ1Sa2(ωτ12)F_T \left( \omega \right) = \tau _1 Sa^2 \left( {{{\omega \tau _1 } \over 2}} \right)FT(ω)=τ1Sa2(2ωτ1)
等腰三角脉冲信号与等宽的矩形脉冲信号的频谱相差“三个2”。
下面求周期方波信号fp(t)f_p \left( t \right)fp(t)的傅里叶变换。
对于宽度为τ\tauτ，高度为2的矩形脉冲信号f2τ(t)f_{2\tau } \left( t \right)f2τ(t)的连续频谱F2τ(ω)F_{2\tau } \left( \omega \right)F2τ(ω)为：F2τ(ω)=2τSa(ωτ)F_{2\tau } \left( \omega \right) = 2\tau Sa\left( {\omega \tau } \right)F2τ(ω)=2τSa(ωτ)
将f2τ(t)f_{2\tau } \left( t \right)f2τ(t)安装周期2τ2\tau2τ进行周期延拓，形成周期信号f2τp(t)f_{2\tau p} \left( t \right)f2τp(t)，它对应的傅里叶变换F2τP(ω)F_{2\tau P} \left( \omega \right)F2τP(ω)是F2τ(ω)F_{2\tau } \left( \omega \right)F2τ(ω)进行离散化。
F2τP(ω)=πτ∑n=−∞∞2τSa(n⋅πτ)δ(ω−n⋅πτ)F_{2\tau P} \left( \omega \right) = {\pi \over \tau }\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {2\tau Sa\left( {n \cdot {\pi \over \tau }} \right)\delta \left( {\omega - n \cdot {\pi \over \tau }} \right)}F2τP(ω)=τπn=−∞∑∞2τSa(n⋅τπ)δ(ω−n⋅τπ)
进行化简后为：
F2τP(ω)=2π∑n=−∞∞Sa(n⋅πτ)δ(ω−n⋅πτ)F_{2\tau P} \left( \omega \right) = 2\pi \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {Sa\left( {n \cdot {\pi \over \tau }} \right)\delta \left( {\omega - n \cdot {\pi \over \tau }} \right)}F2τP(ω)=2πn=−∞∑∞Sa(n⋅τπ)δ(ω−n⋅τπ)
周期信号fp(t)f_p \left( t \right)fp(t)是f2τp(t)f_{2\tau p} \left( t \right)f2τp(t)减去常量111，那么它对应的傅里叶变换FP(ω)F_P \left( \omega \right)FP(ω)为：
FP(ω)=F2τP(ω)−2πδ(ω)F_P \left( \omega \right) = F_{2\tau P} \left( \omega \right) - 2\pi \delta \left( \omega \right)FP(ω)=F2τP(ω)−2πδ(ω)
根据上面F2τP(ω)F_{2\tau P} \left( \omega \right)F2τP(ω)，所以：FP(ω)=2π∑n=−∞,n≠0+∞Sa(n⋅πτ)δ(ω−nπτ)F_P \left( \omega \right) = 2\pi \sum\limits_{n = - \infty ,n \ne 0}^{ + \infty } {Sa\left( {n \cdot {\pi \over \tau }} \right)\delta \left( {\omega - n{\pi \over \tau }} \right)}FP(ω)=2πn=−∞,n=0∑+∞Sa(n⋅τπ)δ(ω−nτπ)
最终，F(ω)F\left( \omega \right)F(ω)为：
F(ω)=12πFT(ω)∗FP(ω)F\left( \omega \right) = {1 \over {2\pi }}F_T \left( \omega \right) * F_P \left( \omega \right)F(ω)=2π1FT(ω)∗FP(ω)=12π⋅τ1Sa2(ωτ12)∗2π∑n=−∞,n≠0+∞Sa(nπτ)δ(ω−nπτ)= {1 \over {2\pi }} \cdot \tau _1 Sa^2 \left( {{{\omega \tau _1 } \over 2}} \right) * 2\pi \sum\limits_{n = - \infty ,n \ne 0}^{ + \infty } {Sa\left( {{{n\pi } \over \tau }} \right)\delta \left( {\omega - {{n\pi } \over \tau }} \right)}=2π1⋅τ1Sa2(2ωτ1)∗2πn=−∞,n=0∑+∞Sa(τnπ)δ(ω−τnπ)=τ∑n=−∞,n≠0+∞Sa(nπτ)⋅Sa2[τ12(ω−nπτ)]= \tau \sum\limits_{n = - \infty ,n \ne 0}^{ + \infty } {Sa\left( {{{n\pi } \over \tau }} \right) \cdot Sa^2 \left[ {{{\tau _1 } \over 2}\left( {\omega - {{n\pi } \over \tau }} \right)} \right]}=τn=−∞,n=0∑+∞Sa(τnπ)⋅Sa2[2τ1(ω−τnπ)]
【其它各小题参考答案】
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