BZOJ 2134 单选错位（数学期望）【BZOJ 修复工程】

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题目链接

https://hydro.ac/d/bzoj/p/2134

是 hydro 的 BZOJ 修复工程！（我也去领了一点题慢慢修着玩，这题就是我修的嘿嘿嘿）

题目描述

gx 和 lc 去参加 noip 初赛，其中有一种题型叫单项选择题，顾名思义，只有一个选项是正确答案。

试卷上共有 nnn 道单选题，第 iii 道单选题有 aia_iai 个选项，这 aia_iai 个选项编号是 1,2,3,…,ai1,2,3,\ldots,a_i1,2,3,…,ai，每个选项成为正确答案的概率都是相等的。

lc 采取的策略是每道题目随机写上 1∼ai1 \sim a_i1∼ai 的某个数作为答案选项，他用不了多少时间就能期望做对 ∑i=1n1ai\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}i=1∑nai1 道题目。

gx 则是认认真真地做完了这 nnn 道题目，可是等他做完的时候时间也所剩无几了，于是他匆忙地把答案抄到答题纸上，没想到抄错位了：第 iii 道题目的答案抄到了答题纸上的第 i+1i+1i+1 道题目的位置上，特别地，第 nnn 道题目的答案抄到了第 111 道题目的位置上。

现在 gx 已经走出考场没法改了，不过他还是想知道自己期望能做对几道题目，这样他就知道会不会被 lc 鄙视了。

我们假设 gx 没有做错任何题目，只是答案抄错位置了。

输入格式

nnn 很大，为了避免读入耗时太多，输入文件只有五个整数参数 n,A,B,C,a1n, A, B, C, a_1n,A,B,C,a1，由上交的程序产生数列 aaa。下面给出 pascal/C/C++ 的读入语句和产生序列的语句（默认从标准输入读入）：

// for pascal
readln(n,A,B,C,q[1]);
for i:=2 to n do
q[i] := (int64(q[i-1]) * A + B) mod 100000001;
for i:=1 to n do
q[i] := q[i] mod C + 1;

// for C/C++
scanf("%d%d%d%d%d", &n, &A, &B, &C, a + 1);
for (int i = 2; i <= n; i++)a[i] = ((long long) a[i - 1] * A + B) % 100000001;
for (int i = 1; i <= n; i++)a[i] = a[i] % C + 1;

选手可以通过以上的程序语句得到 nnn 和数列 aaa，nnn 和 aaa 的含义见题目描述。

输出格式

输出一个实数，表示 gx 期望做对的题目个数，保留三位小数。

样例输入

3 2 0 4 1

样例输出

1.167

样例说明

a={2,3,1}a=\{2,3,1\}a={2,3,1}。

正确答案	gx的答案	做对题目	出现概率
{1,1,1}\{1,1,1\}{1,1,1}	{1,1,1}\{1,1, 1\}{1,1,1}	333	16\frac{1}{6}61
{1,2,1}\{1,2,1\}{1,2,1}	{1,1,2}\{1,1, 2\}{1,1,2}	111	16\frac{1}{6}61
{1,3,1}\{1,3,1\}{1,3,1}	{1,1,3}\{1,1, 3\}{1,1,3}	111	16\frac{1}{6}61
{2,1,1}\{2,1,1\}{2,1,1}	{1,2,1}\{1,2, 1\}{1,2,1}	111	16\frac{1}{6}61
{2,2,1}\{2,2,1\}{2,2,1}	{1,2,2}\{1,2, 2\}{1,2,2}	111	16\frac{1 }{6}61
{2,3,1}\{2,3,1\}{2,3,1}	{1,2,3}\{1,2, 3\}{1,2,3}	000	16\frac{ 1}{6}61

共有 666 种情况，每种情况出现的概率是 16\dfrac{1}{6}61，gx 期望做对 3+1+1+1+1+06=76\dfrac{3+1+1+1+1+0}6 = \dfrac{7}{6}63+1+1+1+1+0=67 题。（相比之下，lc 随机就能期望做对 116\dfrac{11}{6}611 题）

数据规模与约定

对于 30%30\%30% 的数据，n≤10n\le10n≤10，C≤10C\le10C≤10。

对于 80%80\%80% 的数据，n≤104n\le 10^4n≤104，C≤10C\le 10C≤10。

对于 90%90\%90% 的数据，n≤5×105n\le 5\times 10^5n≤5×105，C≤108C\le 10^8C≤108。

对于 100%100\%100% 的数据，2≤n≤1072\le n\le 10^72≤n≤107，0≤A,B,C≤1080\le A,B,C \le 10^80≤A,B,C≤108。

Solution

显然每道题之间是相对独立互不影响的。

那么对于第 iii 道题，有 a[i]a[i]a[i] 种选项，因为填错了题目，共有 a[i−1]a[i-1]a[i−1] 种选项填写到了第 iii 题上，显然一共有 a[i]×a[i−1]a[i]\times a[i-1]a[i]×a[i−1] 种填写方案，一共有 min⁡{a[i−1],a[i]}\min\{a[i - 1],a[i]\}min{a[i−1],a[i]} 种填写正确的方案，显然做对的概率为 min⁡{a[i−1],a[i]}a[i]×a[i−1]=1max⁡{a[i−1],a[i]}\cfrac{\min\{a[i - 1],a[i]\}}{a[i]\times a[i-1]}=\cfrac{1}{\max\{a[i- 1],a[i]\}}a[i]×a[i−1]min{a[i−1],a[i]}=max{a[i−1],a[i]}1。

E=∑i=1nxi×Pi=∑i=1n1×Pi=∑i=1n1max⁡{a[i−1],a[i]}\displaystyle E=\sum_{i=1}^{n} x_i\times P_i=\sum_{i = 1}^{n}1\times P_i=\sum_{i=1}^{n}\cfrac{1}{\max\{a[i- 1],a[i]\}}E=i=1∑nxi×Pi=i=1∑n1×Pi=i=1∑nmax{a[i−1],a[i]}1。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e7 + 6;
int n, m, s, t, ans;
int a[maxn];
int A, B, C;int main()
{scanf("%d%d%d%d%d", &n, &A, &B, &C, a + 1);for (int i = 2; i <= n; i++)a[i] = ((long long) a[i - 1] * A + B) % 100000001;for (int i = 1; i <= n; i++)a[i] = a[i] % C + 1;a[0] = a[n];double ans = 0;for (int i = 1; i <= n; ++ i) {ans += 1.0 / max(a[i - 1], a[i]);}printf("%.3f", ans);return 0;
}