本章内容

 继续图的讨论，介绍加权图——提高或降低某些边的权重。

 介绍狄克斯特拉dijstra算法，让你能够找出加权图中前往X的最短路径。

 介绍图中的环，它导致狄克斯特拉算法不管用。

在前一章，你找出了从A点到B点的路径。

这是最短路径，因为段数最少——只有三段，但不一定是最快路径。如果给这些路段加上时间，你将发现有更快的路径。

要找出最快的路径，可使用另一种算法——狄 杰/克 斯特拉算法（ Dijkstra’s algorithm）。

狄克斯特拉算法包含4个步骤。

(1) 找出“最便宜”的节点，即可在最短时间内到达的节点。

(2) 更新该节点的邻居的开销，其含义将稍后介绍。

(3) 重复这个过程，直到对图中的每个节点都这样做了。

(4) 计算最终路径。

第一步： 找出最便宜的节点。

你站在起点，不知道该前往节点A还是前往节点B。前往这两

个节点都要多长时间呢?

前往节点A需要6分钟，而前往节点B需要2分钟。至于前往其他节点，你还不知道需要多长时间。那么此时最便宜的节点就是前往节点B。

第二步：计算经节点B前往其各个邻居所需的时间。

你刚找到了一条前往节点A的更短路径！直接前往节点A需要6分钟。

但经由节点B前往节点A只需5分钟！

对于节点B的邻居，如果找到前往它的更短路径，就更新其开销。（这里更新的是到节点A的距离）

现在：

 前往节点A的更短路径（时间从6分钟缩短到5分钟）；

 前往终点的更短路径（时间从无穷大缩短到7分钟）。

第三步：重复！

重复第一步： 找出可在最短时间内前往的节点。你对节点B执行了第二步，除节点B外，可

在最短时间内前往的节点是节点A。

重复第二步：更新节点A的所有邻居的开销。

你发现前往终点的时间为6分钟！

你对每个节点都运行了狄杰斯特拉算法（无需对终点这样做）。现在，你知道：

 前往节点B需要2分钟；

 前往节点A需要5分钟；

 前往终点需要6分钟。

最后一步——计算最终路径将留到下一节去介绍，这里先直接将最终路径告诉你。

在狄克斯特拉算法中，你给每段都分配了一个数字或权重，因此狄克斯特拉算法找出的是总权重最小的路径。

在前一章， 你使用了广度优先搜索来查找两点之间的最短路径，那时“最短路径”的意思是段数最少。

重述一下，狄杰斯特拉算法包含4个步骤。

(1) 找出最便宜的节点，即可在最短时间内前往的节点。

(2) 对于该节点的邻居，检查是否有前往它们的更短路径，如果有，就更新其开销。

(3) 重复这个过程，直到对图中的每个节点都这样做了。

(4) 计算最终路径。

术语

狄克斯特拉算法用于每条边都有关联数字的图，这些数字称为权重（ weight）。

带权重的图称为加权图（ weighted graph），不带权重的图称为非加权图（ unweighted graph）。

计算非加权图中的最短路径： 使用广度优先搜索。

计算加权图中的最短路径： 使用狄杰斯特拉算法。

环

狄杰斯特拉算法只适用于有向无环图（ directed acyclic graph， DAG）。

换钢琴例子

有向无环图：

目标：Rama需要确定采用哪种路径将乐谱（起点）换成钢琴（终点）时需要支付的额外费用最少？

动手之前，你需要做些准备工作：创建一个表格，在其中列出每个节点的开销。这里的开销指的是达到节点需要额外支付多少钱。

在执行狄杰斯特拉算法的过程中，你将不断更新这个表。为计算最终路径，还需在这个表中添加表示父节点的列。

开始执行算法：

第一步：找出最便宜的节点。

在这里，换海报最便宜，不需要支付额外的费用。

还有更便宜的换海报的途径吗？这一点非常重要，你一定要想一想。这就是狄杰斯特拉算法背后的关键理念： 找出图中最便宜的节点，并确保没有到该节点的更便宜的路径！

第二步：计算前往该节点的各个邻居的开销。

注意在更新权重的时候，也要更新父节点。

再次执行第一步：下一个最便宜的节点是黑胶唱片——需要额外支付5美元。

再次执行第二步：更新黑胶唱片的各个邻居的开销。

你更新了架子鼓和吉他的开销！这意味着经“黑胶唱片”前往“架子鼓”和“吉他”的开销更低，因此你将这些乐器的父节点改为黑胶唱片。

下一个最便宜的是吉他，因此更新其邻居的开销。

你终于计算出了用吉他换钢琴的开销，于是你将其父节点设置为吉他。最后，对最后一个节点——架子鼓，做同样的处理。

如果用架子鼓换钢琴， Rama需要额外支付的费用更少。因此， 采用最便宜的交换路径时，Rama需要额外支付35美元。

现在来兑现前面的承诺，确定最终的路径。当前，我们知道最短路径的开销为35美元，但如何确定这条路径呢？为此，先找出钢琴的父节点。

钢琴的父节点为架子鼓，这意味着Rama需要用架子鼓来换钢琴。因此你就沿着这一边。

架子鼓的父节点为黑胶唱片。

因此Rama需要用黑胶唱片了换架子鼓。显然，他需要用乐谱来换黑胶唱片。通过沿父节点回溯，便得到了完整的交换路径。

下面是Rama需要做的一系列交换。

最短路径的概念：

最短路径指的并不一定是物理距离，也可能是让某种度量指标最小。在这个示例中，最短路径指的是Rama想要额外支付的费用最少。这都要归功于狄杰斯特拉算法。

注意： 如果有负权边，就不能使用狄杰斯特拉算法。因为负权边会导致这种算法不管用。

这是因为狄杰斯特拉算法这样假设：对于处理过的海报节点，没有前往该节点的更短路径。这种假设仅在没有负权边时才成立。因此， 不能将狄杰斯特拉算法用于包含负权边的图。在包含负权边的图中，要找出最短路径，可使用另一种算法——贝尔曼-福德算法（ Bellman-Ford algorithm）。本书不介绍这种算法，你可以在网上找到其详尽的说明。

代码实现

以下面的有向无环图为例：

需要三个散列表：

随着算法的进行，你将不断更新散列表costs和parents。

这里需要同时存储邻居和前往邻居的开销。例如，起点有两个邻居——A和B。

graph = {}
graph["start"] = {}
graph["start"]["a"] = 6
graph["start"]["b"] = 2

因此graph["start"]是一个散列表。要获取起点的所有邻居，可像下面这样做。

>>> print graph["start"].keys()
["a", "b"]
>>> print graph["start"]["a"]
2
>>> print graph["start"]["b"]
6

每一个节点都是一个字典，这个字典里面存储了它的邻居和权重；邻居就是字典的keys,权重是字典的values。

表示节点b也是一个字典，graph["b"]["a"]=3，表示从b点到a点，权重为3。

下面来添加其他节点及其邻居。

graph["a"] = {}
graph["a"]["fin"] = 1
graph["b"] = {}
graph["b"]["a"] = 3
graph["b"]["fin"] = 5
graph["fin"] = {} #终点没有任何邻居

接下来， 需要用一个散列表来存储每个节点的开销。节点的开销指的是从起点出发前往该节点需要多长时间。

在Python中能够表示无穷大吗？你可以这样做：

infinity = float("inf")

创建开销表的代码如下：

infinity = float("inf")
costs = {}
costs["a"] = 6
costs["b"] = 2
costs["fin"] = infinity

还需要一个存储父节点的散列表：

创建这个散列表的代码如下：

parents = {}
parents["a"] = "start"
parents["b"] = "start"
parents["fin"] = None

最后，你需要一个数组，用于记录处理过的节点，因为对于同一个节点，你不用处理多次。

processed = []

准备工作做好了，下面来看看算法。

node = find_lowest_cost_node(costs)#在未处理的节点中找出开销最小的节点
while node is not None:#这个while循环在所有节点都被处理过后结束cost = costs[node]neighbors = graph[node]for n in neighbors.keys(): #遍历当前节点的所有邻居new_cost = cost + neighbors[n]if costs[n] > new_cost: #如果经当前节点前往该邻居更近，costs[n] = new_cost #就更新该邻居的开销parents[n] = node #同时将该邻居的父节点设置为当前节点processed.append(node) #将当前节点标记为处理过node = find_lowest_cost_node(costs)#找出接下来要处理的节点，并循环def find_lowest_cost_node(costs):lowest_cost = float("inf") #初始设定lowest_cost是无穷大lowest_cost_node = Nonefor node in costs:#遍历所有的节点cost = costs[node] #获取当前节点的cost值if cost < lowest_cost and node not in processed: #如果当前节点的开销更低且未处理过，lowest_cost = cost#就将其视为开销最低的节点lowest_cost_node = nodereturn lowest_cost_node

对于下图，找出开销最低的节点。

获取该节点的开销和邻居。

遍历邻居。

每个节点都有开销。开销指的是从起点前往该节点需要多长时间。

在这里，你计算从起点出发，经节点B前往节点A（而不是直接前往节点A）需要多长时间。

接下来对新旧开销进行比较。

找到了一条前往节点A的更短路径！因此更新节点A的开销：

这条新路径经由节点B，因此节点A的父节点改为节点B。

现在回到了for循环开头。B的下一个邻居是终点节点：

经节点B前往终点需要多长时间呢？

需要7分钟。终点原来的开销为无穷大，比7分钟长：

设置终点节点的开销和父节点。

你更新了节点B的所有邻居的开销。现在，将节点B标记为处理过。

找出接下来要处理的节点

获取节点A的开销和邻居。

节点A只有一个邻居：终点节点。

当前，前往终点需要7分钟。如果经节点A前往终点，需要多长时间呢？

neighbors[节点n]用于获取当前节点node到节点n的距离(权重)。

经节点A前往终点所需的时间更短！因此更新终点的开销和父节点。

处理所有的节点后，这个算法就结束了。

小结

 广度优先搜索用于在非加权图中查找最短路径。

 狄杰斯特拉算法用于在加权图中查找最短路径。

 仅当权重为正时狄杰斯特拉算法才管用。

 如果图中包含负权边，请使用贝尔曼-福德算法。