HDU 4466 Triangle（计数）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4466

题意：给出一根长度为n的铁丝。将其分成若干段并将每段折成一个三角形，使得三角形都相似。有多少种分法？

思路：首先计算周长为M的三角形有多少个，设为f[M]。设三角形的三边a,b,c满足a<=b<=c,那么分两种情况：

（1）b=c，此时c的上限为(M-1)/2,下限为ceil(M/3)=(M+2)/3，所以此时的三角形个数为(M-1)/2-(M+2)/3+1;

（2）b!=c，那么b<=c-1，因为a+b>c>c-1,因此一般来说有多少个三角形(a,b,c-1)就有多少个三角形(a,b,c)，但是此时要减去a+b=c的情况。三角形(a,b,c-1)的个数就是f[M-1]。此时若a+b=c，即M-1=a+b+c-1=c+c-1，即M=2c，因此M必须为偶数。a+b=c=M/2，使得a+b=M/2的有序(a<=b)二元组有M/2/2。

根据这两个可以得到计算f的递推关系。下面我们看怎么得到周长为M且三边满足Gcd(a,b,c)=1的三角形个数？这个可用于筛素数类似的方法得到。那么对于n，将其分成若干份，每份相等，那么不同的分法就是隔板法。

int f[N],Pow2[N];void init()
{int i,j;f[3]=1;for(i=4;i<N;i++){f[i]=f[i-1]+(i-1)/2-(i+2)/3+1;f[i]%=mod;if(i%2==0) (f[i]-=i/2/2)%=mod;if(f[i]<0) f[i]+=mod;}Pow2[0]=1;for(i=1;i<N;i++) Pow2[i]=Pow2[i-1]*2%mod;for(i=3;i<N;i++) for(j=2;j*i<N;j++){(f[j*i]-=f[i])%=mod;if(f[i]<0) f[i]+=mod;}
}int n;int main()
{init();int num=0;Rush(n){i64 ans=0,i;for(i=1;i*i<=n;i++) if(n%i==0){ans+=(i64)f[i]*Pow2[n/i-1];if(i*i!=n) ans+=(i64)f[n/i]*Pow2[i-1];ans%=mod;}if(ans<0) ans+=mod;printf("Case %d: %I64d\n",++num,ans);}
}

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