hdu 4466 Triangle (数学)

终于做完了这道题，发一下自己的理解，踩踩~~

题意：给你一个长度n的铁丝，将它弯成一个三角形，或者分成m段，每段组成一个三角形，要求这些三角形相似，问有多少种不同的方案数？

题解：

设f[x] 表示三角形三边之和为x 的三角形的个数，a b c分别为三角形的三边，并且满足a<=b<=c;

当b==c时：a=1时c取到最大值为maxx= [(x-1)/2], a=b=c时c取到最小值为minx=ceil(x/3) ,所以总共有maxx-minx+1;

当b!=c 时：(该题的第一个亮点啊)

由于 b<c即b<=c-1 三角形(a,b,c-1)也必为一个合理的三角形，则可以由f[x-1] 推到当前符合条件的三角形的个数

当然还有一种特殊情况需要排除，即前一个状态里 a+b=c+1 的三角形的个数,推到当前状态可知 a+b=c,a+b+c=x

则 a+b=c=x/2; a 可以从 1 取到 [(x/2)/2], 共有 [(x/2)/2] 种情况；

以上我们可以得到f[x] 的所有结果

怎么样求解题目呢？

长度为n的铁丝，可以分成d 段(n%d==0) ，每段都可以组成一个小的三角形，也可以将其中的几段合并，构成一个大的并且和小三角形相似的三角形，共有 2^(n.d-1)种组合方式，则最终的结果为 sum( f[d] * ( 2^(n/d-1) ) )

到这里还没有结束，应为用我们之前计算出来的f[x] 进行计算，答案会偏大，有重复计算，所以（题目的第二个亮点啊）

令f [x] 中计算的三角形a,b,c满足gcd(a,b,c)=1；删选过程很简单，如果n%d==0 则 f[n] 中一定包含着f[d] 中所以三角形扩展 n/d 倍后形成的三角形，减去这部分就可以了；

此时这道题就真的完结了！！！

最后提醒一下，注意取模时超int

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<memory.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
const unsigned int maxn=5000000+10;
const int MOD=1000000000+7;
unsigned int fac[maxn];
unsigned int f[maxn];
void init()
{fac[0]=1;fac[1]=2;fac[2]=4;f[3]=1; f[0]=f[1]=f[2]=0;ll s1,s2;ll tmp;for(int x=4;x<=5000000;x++){s1=ceil(x*1.0/3);s2=(x-1)/2;tmp=(f[x-1]+s2-s1+1)%MOD;f[x]=tmp;if(x%2==0){tmp=(f[x]-(ll)((x/2)/2)+MOD)%MOD;f[x]=tmp;}}for(int x=3;x<=5000000;x++){fac[x]=(fac[x-1]*2)%MOD;for(int y=2;x*y<=5000000;y++){tmp=((ll)f[x*y]-f[x]+MOD)%MOD;f[x*y]=tmp;}}
}
int main()
{//freopen("in.txt","r",stdin);init();int n,tcase=0;while(~scanf("%d",&n)){printf("Case %d: ",++tcase);if(n<3){printf("0\n");continue;}else{ll ans=0;for(int i=1;i*i<=n;i++) if(n%i==0){ans+=((ll)f[i]*fac[n/i-1])%MOD;ans=ans%MOD;if(i*i!=n) ans=(ans+((ll)f[n/i]*fac[i-1])%MOD)%MOD;}printf("%I64d\n",ans);}}return 0;
}

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