纯数学教程 Page 203 例XLI (1)

证明:如果$\phi(x)$是一个多项式，则$\phi'(x)$就是$\phi(x+h)$按照$h$的幂的展开式中$h$的系数.

证明:令$\phi(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$.则
\begin{equation}
\phi'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1
\end{equation}
\begin{equation}
\phi(x+h)=a_n(x+h)^n+a_{n-1}(x+h)^{n-1}+\cdots+a_1(x+h)+a_0
\end{equation}

下面我们来看$h$的系数.由二项式定理，$h$的系数是
\begin{equation}
C_n^1x^{n-1}a_n+C_{n-1}^1x^{n-2}a_{n-1}+\cdots+a_1=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1
\end{equation}

注:此题与多项式函数在某一点处的泰勒展开有联系.

转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/11/09/3827758.html

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