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认识本质之后，这就是一道模板题

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第78题. 子集

题目地址：https://leetcode-cn.com/problems/subsets/

给定一组不含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集(幂集)。

说明：解集不能包含重复的子集。

示例: 输入: nums = [1,2,3]
输出:
[
[3],
  [1],
  [2],
  [1,2,3],
  [1,3],
  [2,3],
  [1,2],
  []
]

思路

求子集问题和回溯算法：求组合问题！和回溯算法：分割问题！又不一样了。

如果把 子集问题、组合问题、分割问题都抽象为一棵树的话，「那么组合问题和分割问题都是收集树的叶子节点，而子集问题是找树的所有节点！」

其实子集也是一种组合问题，因为它的集合是无序的，子集{1,2} 和 子集{2,1}是一样的。

「那么既然是无序，取过的元素不会重复取，写回溯算法的时候，for就要从startIndex开始，而不是从0开始！」

有同学问了，什么时候for可以从0开始呢？

求排列问题的时候，就要从0开始，因为集合是有序的，{1, 2} 和{2, 1}是两个集合，排列问题我们后续的文章就会讲到的。

以示例中nums = [1,2,3]为例把求子集抽象为树型结构，如下：

从图中红线部分，可以看出「遍历这个树的时候，把所有节点都记录下来，就是要求的子集集合」。

回溯三部曲

• 递归函数参数

全局变量数组path为子集收集元素，二维数组result存放子集组合。(也可以放到递归函数参数里)

递归函数参数在上面讲到了，需要startIndex。

代码如下：

vector> result;vector path;void backtracking(vector& nums, int startIndex) {

• 递归终止条件

从图中可以看出：

剩余集合为空的时候，就是叶子节点。

那么什么时候剩余集合为空呢？

就是startIndex已经大于数组的长度了，就终止了，因为没有元素可取了，代码如下:

if (startIndex >= nums.size()) {    return;}

「其实可以不需要加终止条件，因为startIndex >= nums.size()，本层for循环本来也结束了」。

• 单层搜索逻辑

「求取子集问题，不需要任何剪枝！因为子集就是要遍历整棵树」。

那么单层递归逻辑代码如下：

for (int i = startIndex; i     path.push_back(nums[i]);    // 子集收集元素    backtracking(nums, i + 1);  // 注意从i+1开始，元素不重复取    path.pop_back();            // 回溯}

C++代码

根据关于回溯算法，你该了解这些！给出的回溯算法模板：

void backtracking(参数) {    if (终止条件) {        存放结果;        return;    }

    for (选择：本层集合中元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)) {        处理节点;        backtracking(路径，选择列表); // 递归        回溯，撤销处理结果    }}

可以写出如下回溯算法C++代码：

class Solution {private:    vector> result;    vector path;    void backtracking(vector& nums, int startIndex) {        result.push_back(path); // 收集子集if (startIndex >= nums.size()) { // 终止条件可以不加return;        }for (int i = startIndex; i             path.push_back(nums[i]);            backtracking(nums, i + 1);            path.pop_back();        }    }public:    vector> subsets(vector& nums) {        result.clear();        path.clear();        backtracking(nums, 0);return result;    }};

在注释中，可以发现可以不写终止条件，因为本来我们就要遍历整颗树。

有的同学可能担心不写终止条件会不会无限递归？

并不会，因为每次递归的下一层就是从i+1开始的。

总结

相信大家经过了

• 组合问题：
  • 回溯算法：求组合问题！
  • 回溯算法：组合问题再剪剪枝
  • 回溯算法：求组合总和！
  • 回溯算法：电话号码的字母组合
  • 回溯算法：求组合总和(二)
  • 回溯算法：求组合总和(三)
• 分割问题：
  • 回溯算法：分割回文串
  • 回溯算法：复原IP地址

洗礼之后，发现子集问题还真的有点简单了，其实这就是一道标准的模板题。

但是要清楚子集问题和组合问题、分割问题的的区别，「子集是收集树形结构中树的所有节点的结果」。

「而组合问题、分割问题是收集树形结构中叶子节点的结果」。

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