1. 方程  考虑 $\bbR^3$ 中有界区域 $\Omega$ 上如下的稳态流动: $$\bee\label{eq} \left\{\ba{ll} \Div(\varrho\bbu)=0,\\ \Div(\varrho\bbu\otimes \bbu) -\mu\lap \bbu -(\lambda+\mu)\n\Div\bbu +\n \varrho^\gamma =\varrho\bbf+\bbg. \ea\right. \eee$$

2. 假设  先作一些初步的假设:

2.1. $\dps{\gamma>\frac{3}{2}}$---保证对流项 $\Div(\varrho\bbu\otimes\bbu)$ 可看成 $\eqref{eq}_2$ 的扰动;

2.2. $\mu>0$, $\dps{\lambda+\frac{2}{3}\mu\geq 0}$---Navier-Stokes 假设;

2.3. 考虑非滑动边界---$u=0$ 在 $\p \Omega$ 上. 这时可将 Navier-Stokes 假设放宽为 $$\bex \mu>0,\quad \lambda+\frac{4}{3}\mu>0; \eex$$

2.4. 当 $\dps{\gamma\leq \frac{5}{3}}$ 时, $\bbf$ 适合 $\curl \bbf=0$--- 此时密度的可积性实在太差, 须将用 $\ve$-Young 不等式打出来的指标下降, 为此须巧妙的通过 $\eqref{eq}_1$ 把一端零消失: $$\bex & &\curl \bbf=0\\ &\ra& \bbf=\n\varphi\\ &\ra& \int \varrho\bbf\cdot\bbu =\int \varrho \bbu\cdot\n\varphi =-\int \Div(\varrho\bbu)\varphi =0; \eex$$

2.5. $\dps{\int \varrho =M>0}$---质量守恒.

3. 弱解的三重逼近  那么怎么证明 \eqref{eq} 有弱解呢?

3.1. 注意到 $\eqref{eq}_1$ 是退化双曲的, 自然的引进 damping 项 $\alpha\varrho(\alpha>0)$: $$\bex \alpha\varrho+\Div(\varrho \bbu)=\cdots. \eex$$ 为保证质量守恒, 右端须加上 $\alpha h$: $$\bex \alpha \varrho+\Div(\varrho\bbu)=\alpha h, \eex$$ 其中 $h$ 满足: $$\bex \int h=M. \eex$$ 再看 $\eqref{eq}_2$, 注意到 $$\bex \int \Div(\varrho \bbu\otimes \bbu)\cdot\bbu &=&\int \Div(\varrho\bbu)\sev{\bbu}^2 +\int \varrho \bbu\cdot\n\frac{\sev{\bbu}^2}{2}\\ &=&\frac{1}{2}\int\Div\sex{\varrho\bbu}\sev{\bbu}^2\\ &=&\frac{\alpha}{2}\int (h-\varrho)\sev{\bbu}^2, \eex$$ 为保证能量不等式还能有效利用, 我们在 $\eqref{eq}_2$ 中加上 $$\bex \frac{\alpha}{2}h\bbu+\frac{3}{2}\varrho\bbu \eex$$ (这样就出现了 $\alpha\sex{h+\varrho}\sev{\bbu}^2$): $$\bex \frac{\alpha}{2}h\bbu+\frac{3}{2}\varrho\bbu +\Div(\varrho\bbu\otimes\bbu) -\mu\lap\bbu -(\lambda+\mu)\n\Div\bbu +\n\varrho^\gamma =\varrho\bbf+\bbg. \eex$$ 综上所述, 第一次逼近为 $$\bee \label{eq1} \left\{\ba{ll} \alpha\varrho+\Div(\varrho\bbu)=\alpha h,\\ \frac{\alpha}{2}h\bbu+\frac{3}{2}\varrho\bbu +\Div(\varrho\bbu\otimes\bbu) -\mu\lap\bbu -(\lambda+\mu)\n\Div\bbu +\n\varrho^\gamma =\varrho\bbf+\bbg. \ea\right. \eee$$

3.2. 注意到 $\eqref{eq1}_2$ 是椭圆方程组, 而椭圆组具有很好的存在正则性理论. 为啥不将 $\eqref{eq1}_1$ 也椭圆正则化呢? 于是我们将 $\eqref{eq1}_1$ 转化为 $$\bex \alpha \varrho +\Div(\varrho\bbu) -\ve\lap\varrho =\alpha h\quad(\ve>0). \eex$$ 此时, $\eqref{eq1}_2$ 也应相应的变动(以适合能量不等式), 怎么办呢? 注意到 $$\bex \int \Div(\varrho\bbu\otimes \bbu)\cdot\bbu &=&\frac{1}{2}\int \Div(\varrho\bbu)\sev{\bbu}^2 \quad \sex{=-\int \sex{\varrho\bbu\cdot\n\bbu}\cdot\bbu}\\ &=&\frac{1}{2}\int \sez{\alpha(h-\varrho+\ve\lap \varrho}\sev{\bbu}^2\\ &=&\frac{\alpha}{2}\int (h-\varrho)\sev{\bbu}^2 -\ve \int \p_i\varrho\p_iu_ju_j, \eex$$ 最后那个式子 $$\bex \ve \int \p_i\varrho\p_iu_ju_j \eex$$ 最好不要出现在能量不等式中(那样就更简单了). 怎么办呢? 观察上式, 有 $$\bex \int \sez{\Div(\varrho\bbu\otimes\bbu+\varrho\bbu\cdot\n\bbu}\cdot\bbu=0. \eex$$ 故为啥不把 $\eqref{eq1}_2$ 中的 $\Div(\varrho\bbu\otimes\bbu)$ 换成 $$\bex \frac{1}{2}\Div(\varrho\bbu\otimes\bbu+ \frac{1}{2}\varrho\bbu\cdot\n\bbu \eex$$ 呢? 此时, 在第一次逼近中的导入的 $$\bex \frac{\alpha}{2}h\bbu +\frac{3}{2}\varrho\bbu \eex$$ 就可直接点了: $$\bex \alpha\varrho\bbu+\alpha h\bbu. \eex$$ 这样, 我们获得了第二次逼近: $$\bee\label{eq2} \left\{\ba{lll} \alpha\varrho+\Div(\varrho\bbu) -\ve\lap \varrho =\alpha h,\\ \alpha h\bbu +\alpha \varrho\bbu +\frac{1}{2}\Div\sex{\varrho\bbu\otimes\bbu} +\frac{1}{2}\varrho\bbu\cdot\n\bbu\\ \quad\quad\quad \quad\quad\quad -\mu\lap \bbu -(\lambda+\mu)\n\Div\bbu +\n\varrho^\gamma =\varrho\bbf+\bbg. \ea\right. \eee$$

3.3. 对于 \eqref{eq2}, 我们大概可以用 Leray-Schauder 不动点定理证明弱解的存在性. 回忆   Leray-Schauder 不动点定理. 设 $X$ 是一 $Banach$ 空间, $D\subset X$ 为其一有界开集. 再设 $H:\bar D\times[0,1]\to X$ 是一紧算子的同伦, 满足   (1) $\exists\ u_0\in D,\ s.t.\ H(u_0,0)=u_0$; (2) $0\neq (I-H(\cdot,t))(\p D),\ t\in [0,1]$.   则 $$\bex \forall\ t\in [0,1],\ \exists\ u_t\in D,\ s.t.\ H(u_t,t)=u_t. \eex$$  注记. 在 PDE 中, 为应用 Leray-Schauder 不动点定理, 仅须作先验估计及利用 Sobolev 紧嵌入.  故而通过求解过程 $$\bex \bbu\stackrel{\mbox{质量守恒}}{\mapsto} \varrho=S(\bbu) \stackrel{\mbox{动量守恒}}{\mapsto} \bbu, \eex$$ 我们先用 Leray-Schauder 不动点定理证明 $$\bex -\ve\lap\varrho =\alpha(h-\varrho)-\Div(\varrho\bbu) \eex$$ 有解 $\varrho=S(\bbu)$, 然后再次用之得到 $$\bex & &-\mu\lap \bbu -(\lambda+\mu)\n\Div\bbu\\ & &=-\sez{  \alpha h\bbu +\alpha S(\bbu)\bbu +\frac{1}{2}\Div\sex{S(\bbu)\bbu\otimes\bbu} +\frac{1}{2}S(\bbu)\bbu\cdot\n\bbu\atop +\n S(\bbu)^\gamma -S(\bbu)\bbf-\bbg} \eex$$ 的解 $\bbu$. 如此, $(S(\bbu),\bbu)$ 就是 \eqref{eq} 的弱解了.  剩下就是构造合适的工作空间. 注意到质量守恒本身就是带输运的, 自然 $$\bex \bbu\in W^{1,\infty}. \eex$$ 那么 $\varrho\in ?$ 引入 Bogovskii 算子 $\calB$, 我们有 $$\bex -\ve\lap \varrho =\Div\sez{\alpha\calB(h-\varrho)-\varrho\bbu}. \eex$$ 于是 $$\bex \sen{\n\varrho}_s &\leq& \frac{C}{\ve}\sen{\alpha \calB(h-\varrho)-\varrho\bbu}_s\\ &\leq& \frac{C}{\ve}\sez{\alpha \sen{h}_s+\sen{\varrho}_s}\\ &\leq& \frac{C}{\ve}\sen{h}_s\quad \sex{\sen{\varrho}_s\leq C\sen{h}_s,\ s\to 1^+,\atop\mbox{直观上可以看作是质量守恒的正则化扰动}}. \eex$$ 如此, 通过 Sobolev 嵌入及 Bootstrap, $$\bex \sen{\varrho}_{1,p}\leq C(\bbu)\sen{h}_p. \eex$$ 从而再由正则性理论, $$\bex \sen{\varrho}_{2,p}\leq C(\bbu)\sen{h}_p\quad\sex{\forall\ 1<p<\infty}. \eex$$ 为了有紧, 同样可设 $$\bex \varrho\in W^{1,\infty}. \eex$$ 工作空间选好了, 那些先验估计就是 technical 的了.  这样, 我们就可以取极限 (比如 $\ve\to 0^+$, $\alpha\to 0^+$). 但现在问题来了, 压力项的极限怎么办? (其他项由 div-curl 引理而容易处理)? 为此, 引入人工压力项 $\delta(\varrho^2+\varrho^\beta)$($\beta$ 充分大, $2$ 是技术处理, 以获得密度的更高可积性, 而有更好的强收敛, 有重整化解, 对 $\gamma>3/2$ 能够统一处理), 而得到第三次逼近 $$\bee\label{eq3} \left\{\ba{lll} \alpha\varrho+\Div(\varrho\bbu) -\ve\lap \varrho =\alpha h,\\ \alpha h\bbu +\alpha \varrho\bbu +\frac{1}{2}\Div\sex{\varrho\bbu\otimes\bbu} +\frac{1}{2}\varrho\bbu\cdot\n\bbu\\ \quad\quad\quad \quad\quad\quad -\mu\lap \bbu -(\lambda+\mu)\n\Div\bbu +\n\sex{\varrho^\gamma+\delta(\varrho^2+\varrho^\beta)} =\varrho\bbf+\bbg. \ea\right. \eee$$

4. 极限过程.  为保证密度的强收敛性, 我们选取如下的极限过程: $$\bex \ve\to 0^+\ra \alpha\to 0^+\ra \delta\to 0^+. \eex$$

4.1. 消失椭圆正则化.  不写那么多了, 关键是 $$\bex \varrho\in L^2&\ra& \varrho\mbox{ 重整化解}\\ &\ra& {\overline{\varrho^\theta}}^\frac{1}{\theta}\mbox{ 适合方程} (\mbox{利用有效粘性通量},\ 0<\theta<1)\\ &\ra& \varrho_\alpha\mbox{ 的 }L^1\mbox{ 强收敛性}. \eex$$

4.2. 消失 damping.  基本上同上.

4.3. 消失人工压力.  直观上通过 Riesz 变化得到 $$\bex \varrho\in L^{s(\gamma)},\ s(\gamma)=\left\{\ba{ll} 3(\gamma-1),&\frac{3}{2}<\gamma\leq 3,\\ 2\gamma,&\gamma\geq 3. \ea\right. \eex$$ 故而当 $\gamma\geq5/3$ 时, $\varrho\in L^2$, 而同上讨论. 当 $3/2<\gamma<5/3$ 时, 我们去 cut-off: $$\bex \sen{\varrho_\delta-\varrho}_1 &\leq&\sen{\varrho_\delta-T_k(\varrho_\delta)}_1 +\sen{T_k(\varrho_\delta)-T_k(\varrho)}_1 +\sen{T_k(\varrho)-\varrho}_1\\ &\equiv&I_1+I_2+I_3, \eex$$ 其中 $$\bex T_k(t)=\left\{\ba{ll} t,&t\leq k,\\ k,&t\geq k. \ea\right. \eex$$ $I_1$, $I_3$ 可类似估计: $$\bex I_3&=&\sen{(\varrho-k)1_{\varrho\geq k}}_1\\ &\leq& \sen{\varrho}_{s(\gamma)} \sev{\sed{\varrho\geq k}}^{1-\frac{1}{s(\gamma)}}\\ &\leq&C\sex{\frac{M}{k}}^{1-\frac{1}{s(\gamma)}}\\ &\to&0\quad\sex{k\to+\infty}. \eex$$ 仅须考虑 $$\bex I_2=\sen{T_k(\varrho_\delta)-T_k(\varrho)}_1, \eex$$ 这是(有限)密度震荡, 直观上应有很好的正则性. 联系方程 $\eqref{eq}_2$, 我们导入 $$\bex \lim_{\delta\to 0^+} \sen{T_k(\varrho_\delta)-T_k(\varrho)}_{\gamma+1}\leq C \eex$$ (参见张祖锦, 密度的震荡控制, 家里蹲大学数学杂志. 第  2 卷第  31 期, (2011), 195--195.), 而也通过 cut-off 有 $\varrho$ 适合重整化. 最后由 $$\bex & &\lim_{\delta\to 0^+} \sen{T_k(\varrho_\delta)-T_k(\varrho)}_{\gamma+1}\\ & &\leq (\lambda+2\mu) \int \overline{\Div\bbu T_k(\varrho)}-\Div\bbu\overline{T_k(\varrho)}\\ & &=(\lambda+2\mu) \int -\Div L_k(\varrho)-\Div\bbu\overline{T_k(\varrho)}\\ & &\quad\sex{L_k(t)= \left\{\ba{ll} t\ln t,&t\in [0,k),\\ t\ln k+t-k,&t\in [k,\infty) \ea\right.\mbox{ 满足 }tL_k'(t)-L_k(t)=T_k(t)}\\ & &=(\lambda+2\mu) \int \Div\sex{T_k(\varrho)-\overline{T_k(\varrho)}}\\ & &\quad\sex{\Div\sex{L_k(\varrho)\bbu}+T_k(\varrho)\Div\bbu=0}\\ & &\leq (\lambda+2\mu) \sen{\Div\bbu}_2 \sen{T_k(\varrho)-\overline{T_k(\varrho)}}_1^\frac{\gamma-1}{2\gamma} \sen{T_k(\varrho)-\overline{T_k(\varrho)}}_{\gamma+1}^ \frac{\gamma+1}{2\gamma}\\ & &\leq C\sex{\sen{T_k(\varrho)-\varrho}_1 +\sen{\overline{T_k(\varrho)-\varrho}}_1}^\frac{\gamma-1}{2\gamma}\\ & &\to 0\quad \sex{k\to\infty} \eex$$ 知 $I_2\to 0\ (k\to\infty,\ \delta\to 0^+)$.

至此, \eqref{eq} 弱解的存在性证毕.

来源: 家里蹲大学数学杂志第2卷第33期稳态可压Navier-Stokes方程弱解的存在性