COGS 2353 2355 2356 2358 有标号的DAG计数

不用连通

枚举入度为0的一层

卷积

发现有式子：

由$n^2-i^2-(n-i)^2=2*i*(n-i)$

可得$2^{i*(n-i)}=\frac{{\sqrt 2}^{(n^2)}}{{\sqrt 2}^{(i^2)}*{\sqrt 2}^{(n-i)^2}}$

设$g(n)={\sqrt 2}^{(n^2)}$

则，$2^{i*(n-i)}=\frac{g(n)}{g(i)*g(n-i)}$

指数相乘变成指数相加减，把$g(n)$除过去即可

连通

弱联通：变成无向边是连通的

f(n)表示n个点的DAG个数，g(n)表示n个点的弱连通DAG个数

$f(n)=\sum_{i=0}^{n-1} C(n-1,i)*g(n-i)*f(i)$

不妨设$g[0]=0

则$\frac{f(n)}{(n-)!}=\sum_{i=0}^{n} \frac{g(n-i)}{(n-i-1)!}*\frac{f(i)}{i!}$

所以，如果把F和G看成f和g的EGF

不妨设$g[0]=0

有$F'=G'*F$

当$G=lnF$时候，恰好成立

所以，$G=ln F$

PS：不连通转连通都可以直接放上Ln了事

luoguP4841 城市规划

COGS 2392 2393 2395 有标号的二分图计数

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