P6295-有标号 DAG 计数【多项式求逆,多项式ln】
正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6295
题目大意
求所有nnn个点的弱联通DAGDAGDAG数量。
1≤n≤1051\leq n\leq 10^51≤n≤105
解题思路
先不考虑弱联通的限制,求nnn个点的DAGDAGDAG数量。
设为fif_ifi,那么有式子
fn=∑i=1n(ni)2i(n−i)fn−i(−1)i+1f_n=\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}2^{i(n-i)}f_{n-i}(-1)^{i+1}fn=i=1∑n(in)2i(n−i)fn−i(−1)i+1
这个式子的意思是说新建一层出度为000的点,(ni)\binom{n}{i}(in)很显然,然后2i(n−i)2^{i(n-i)}2i(n−i)是连边,然后fn−if_{n-i}fn−i表示前面的方案。之后会发现这样的连法其实不保证原来出度为000的点现在都不为000了,也就是说这个是至少有iii个出度为000的点的方案,那么要有一个容斥系数(−1)i+1(-1)^{i+1}(−1)i+1。
然后把2i(n−i)2^{i(n-i)}2i(n−i)拆成2(n2)2−(i2)2−(n−i2)2^{\binom{n}{2}}2^{-\binom{i}{2}}2^{-\binom{n-i}{2}}2(2n)2−(2i)2−(2n−i)化一下两边的式子就是
fn2(n2)n!=∑i=1n(−1)i+12(i2)i!fn−i2(n−i2)(n−i)!\frac{f_n}{2^{\binom{n}{2}}n!}=\sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{i+1}}{2^{\binom{i}{2}}i!}\frac{f_{n-i}}{2^{\binom{n-i}{2}}(n-i)!}2(2n)n!fn=i=1∑n2(2i)i!(−1)i+12(2n−i)(n−i)!fn−i
很经典的式子,设G(x)[n]=fn2(n2)n!,F(x)[n]=(−1)n+12(n2)n!G(x)[n]=\frac{f_n}{2^{\binom{n}{2}}n!},F(x)[n]=\frac{(-1)^{n+1}}{2^{\binom{n}{2}}n!}G(x)[n]=2(2n)n!fn,F(x)[n]=2(2n)n!(−1)n+1
那么有
G=GF+1⇒G=11−FG=GF+1\Rightarrow G=\frac{1}{1-F}G=GF+1⇒G=1−F1
多项式求逆就可以得到GGG。
然后得出数组fff,要求弱联通的话挺显然的就是如果弱联通的生成函数是HHH,没有要求的是FFF
那么有
eH=F⇒H=ln(F)e^H=F\Rightarrow H=\ln(F)eH=F⇒H=ln(F)
所以在再个多项式ln就好了。
时间复杂度:O(nlogn)O(n\log n)O(nlogn)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1<<17,M=N*8,P=998244353;
ll T,F[M],G[M],tmp[M],t1[M],t2[M],r[M];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void NTT(ll *f,ll n,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=buf*f[i+len]%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll invn=power(n,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return;
}
void GetInv(ll *f,ll *g,ll n){if(n==1){g[0]=power(f[0],P-2);return;}GetInv(f,g,n>>1);ll m=n<<1;for(ll i=0;i<n;i++)tmp[i]=F[i];for(ll i=n;i<m;i++)tmp[i]=0;for(ll i=0;i<m;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);NTT(tmp,m,1);NTT(g,m,1);for(ll i=0;i<m;i++)g[i]=(2*g[i]-tmp[i]*g[i]%P*g[i]%P+P)%P;NTT(g,m,-1);for(ll i=n;i<m;i++)g[i]=0;return;
}
void GetD(ll *f,ll *g,ll n){for(ll i=0;i<n-1;i++)g[i]=f[i+1]*(i+1)%P;g[n-1]=0;return;
}
void GetJ(ll *f,ll *g,ll n){for(ll i=1;i<n;i++)g[i]=f[i-1]*power(i,P-2)%P;g[0]=0;return;
}
void GetLn(ll *f,ll *g,ll n){memset(t1,0,sizeof(t1));memset(t2,0,sizeof(t2));
// n<<=1;GetD(f,t1,n);GetInv(f,t2,n);ll m=n<<1;for(ll i=0;i<m;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);NTT(t1,m,1);NTT(t2,m,1);for(ll i=0;i<m;i++)t1[i]=t1[i]*t2[i]%P;NTT(t1,m,-1);for(ll i=n;i<m;i++)t1[i]=0;GetJ(t1,g,n);return;
}
signed main()
{F[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++)F[i]=P-F[P%i]*(P/i)%P;F[0]=1;for(ll i=1;i<N;i++)F[i]=F[i-1]*F[i]%P;for(ll i=0;i<N;i++)F[i]=F[i]*power(power(2,i*(i-1)/2%(P-1)),P-2)%P;for(ll i=0;i<N;i++)F[i]=(i&1)?(P-F[i]):F[i];GetInv(F,G,N);for(ll i=0;i<N;i++)F[i]=G[i]*power(2,i*(i-1)/2%(P-1))%P;memset(G,0,sizeof(G));GetLn(F,G,N);scanf("%lld",&T);for(ll i=1,pw=1;i<=T;i++,pw=pw*i%P)printf("%lld\n",G[i]*pw%P);return 0;
}
P6295-有标号 DAG 计数【多项式求逆,多项式ln】相关推荐
- P6295 有标号 DAG 计数(多项式指数函数对数函数/二项式反演/动态规划/生成函数)
P6295 有标号 DAG 计数 https://www.luogu.com.cn/problem/P6295 求解n个点的有标号弱联通DAG个数 首先根据exp的组合意义,我们考虑指数型生成函数,那 ...
- CF438E The Child and Binary Tree(有意思的生成函数 + 多项式求逆 + 多项式开方)
整理的算法模板合集: ACM模板 点我看多项式全家桶(●^◡_◡◡^●) CF438E The Child and Binary Tree 简单的黑题 首先我们发现模数为99824435399824 ...
- 多项式算法5:多项式求逆
多项式算法5:多项式求逆 多项式求逆 前置知识: FFT NTT 多项式求逆 这里的多项式求逆,其实是求多项式的逆元. 对于多项式A(x)A(x)A(x),如果存在A(x)B(x)≡1(modxn)A ...
- (每日一题)P4841 [集训队作业2013]城市规划 (无向连通图计数)(普通生成函数 + 多项式求逆)
整理的算法模板合集: ACM模板 点我看算法全家桶系列!!! 实际上是一个全新的精炼模板整合计划 每日一题(莫反 / 多项式 / 母函数 / 群论) 2021.4.14 生成函数 + 多项式求逆 Pr ...
- 【BZOJ】3456: 城市规划 动态规划+多项式求逆
[题意]求n个点的带标号无向连通图个数 mod 1004535809.n<=130000. [算法]动态规划+多项式求逆 [题解]设$g_n$表示n个点的无向图个数,那么显然 $$g_n=2^{ ...
- BZOJ 3456: 城市规划(dp+多项式求逆)
传送门 解题思路 这道题就是求带标号的无向连通图个数,首先考虑\(O(n^2)\)的做法,设\(f_i\)表示有\(i\)个节点的无向连通图个数,那么考虑容斥,先把所有的无向图求出,即为\(2^{C( ...
- 【学习笔记】超简单的多项式求逆(含全套证明)
整理的算法模板合集: ACM模板 目录 多项式求逆 一.分治FFT 二.倍增法及其证明 三.多项式求逆例题 P4238 [模板]多项式乘法逆 点我看多项式全家桶(●^◡_◡◡^●) 多项式求逆 一. ...
- 【BZOJ 4555】[Tjoi2016Heoi2016]求和 多项式求逆/NTT+第二类斯特林数
出处0.0 用到第二类斯特林数的性质,做法好像很多,我打的是直接ntt,由第二类斯特林数的容斥公式可以推出,我们可以对于每一个i,来一次ntt求出他与所有j组成的第二类斯特林数的值,这个时候我们是O( ...
- hdu 5730 Shell Necklace——多项式求逆+拆系数FFT
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5730 可以用分治FFT.但自己只写了多项式求逆. 和COGS2259几乎很像.设A(x),指数是长度,系数 ...
最新文章
- springboot 启动时could not exec java_面试被问为什么使用Spring Boot?答案好像没那么简单...
- Java的Runtime类介绍
- 2013年2月最后一周
- Linux上快速搭建Jenkins服务器 实现持续集成开发
- [Codeforces702F]T-Shirts——非旋转treap+贪心
- unity vr 交互_基于手动的VR / MR交互,用于删除实体
- Vagrant搭建可移动的PHP开发环境
- Android之提示can‘t execute: Permission denied解决办法
- 【bfs】调酒壶里的酸奶
- centos 7 mysql 源码安装_centos7 mysql5.7.17源码安装
- 连接远程hbase长时间等待问题
- LayUI文档和技术支持网站
- iconfont下载的本地文件的ttf、woff、woff2转换成base64位后引入iconfont.css使用
- 蓝牙耳机无法与计算机连接,蓝牙耳机怎么连接电脑【图文教程】
- 今天有空,不如来找找“双鸭山大学”的由来吧~
- Chapter3.2 实现多个PLAYS
- flash游戏代码html5,Flash贪吃蛇游戏AS代码翻译
- 以太网芯片mac/phy的关系
- htmlUnit的读取js渲染的页面
- mysql配置及安装
热门文章
- 云管边端架构图_中移物联网布局构建“云-管-端”全方位体系架构
- java 方法执行结束局部变量释放_Java方法执行的内存模型
- oracle 有计划任务吗,oracle计划任务的问题
- hashmap扩容 面试_HashMap面试,看完这一篇就够了(上)
- 计算机安全模型研究与应用,软件哨兵安全动态检测模型的研究与实现-计算机应用研究.PDF...
- hilbert曲线序编码matlab,Hilbert曲线扫描矩阵的生成算法及其MATLAB程序代码
- toast弹窗_Android 开发(一):Toast弹窗与获取控件的值
- linux c 数据库访问框架,linux c 开发通用结构,框架
- 在服务器系统怎么设置地址怎么办,路由器怎么设置地址
- 高等数学下-赵立军-北京大学出版社-题解-练习10.3