一、周期序列定义

周期序列定义 : x(n)x(n)x(n) 满足
x(n)=x(n+N)−∞<n<+∞x(n) = x(n + N) \ \ \ -\infty < n < + \inftyx(n)=x(n+N) −∞<n<+∞

条件 , 并且 NNN 是满足上述条件的最小整数 , x(n)x(n)x(n) 可以被称为以 NNN 为周期的周期序列 ;

周期序列可以表示为 : x~(n)\widetilde x(n)x(n)

这里特别注意 , 周期 NNN 是一个 " 整数 " , 没有单位 , 不是时间单位 , 这是因为采样间隔不确定 , 其量级可能是纳秒、微秒、毫秒、秒、年等单位 ;

傅里叶级数变换时 , 其频谱是离散的 , 其时域是周期的 ;

连续非周期的傅里叶变换也是连续非周期的 ;

频域与时域存在一个对偶关系 :

时域是周期的 , 频域是离散的
时域是离散的 , 频域是周期的

二、周期序列示例

给定周期序列 :

x~(n)=sin⁡(πn4)\widetilde x(n) = \sin( \cfrac{\pi n}{4})x(n)=sin(4πn)

有 222 个条件是已知条件 :

① 正弦函数周期 : sin⁡\sinsin 正弦函数的周期是 2π2\pi2π ;

sin(ϕ)=sin(ϕ+2kπ)sin (\phi) = sin(\phi + 2k\pi)sin(ϕ)=sin(ϕ+2kπ)

代入到周期序列中 :

x~(n)=sin(πn4)=sin(πn4+2kπ)\widetilde x(n) = sin (\cfrac{\pi n}{4}) = sin(\cfrac{\pi n}{4} + 2k\pi)x(n)=sin(4πn)=sin(4πn+2kπ)

② 周期序列特性 : 上述序列是周期序列 , 一定满足 x(n)=x(n+N)−∞<n<+∞x(n) = x(n + N) \ \ \ -\infty < n < + \inftyx(n)=x(n+N) −∞<n<+∞ 条件 ;

代入到周期序列中 : 使用 n+Nn + Nn+N 替换 nnn ;

x~(n)=sin(πn4)=sin(πn4+2kπ)\widetilde x(n) = sin (\cfrac{\pi n}{4}) = sin(\cfrac{\pi n}{4} + 2k\pi)x(n)=sin(4πn)=sin(4πn+2kπ)

x~(n)=sin(π4(n+N))=sin(πn4+2kπ)\widetilde x(n) = sin (\cfrac{\pi }{4} (n + N)) = sin(\cfrac{\pi n}{4} + 2k\pi)x(n)=sin(4π(n+N))=sin(4πn+2kπ)

直接对比 sin⁡\sinsin 函数中的参数 :

π4(n+N)=π4(n)+2kπ\cfrac{\pi }{4}(n + N) = \cfrac{\pi }{4}(n) + 2k \pi4π(n+N)=4π(n)+2kπ

π4n+π4N=π4(n)+2kπ\cfrac{\pi }{4}n + \cfrac{\pi }{4}N = \cfrac{\pi }{4}(n) + 2k \pi4πn+4πN=4π(n)+2kπ

π4N=2kπ\cfrac{\pi }{4}N = 2k \pi4πN=2kπ

N=8kN = 8kN=8k

最小周期为 N=8,k=1N= 8, k = 1N=8,k=1

其含义是 111 个 sin⁡\sinsin 模拟周期内采集了 888 个样本 ;

计算 kkk 的值 :

数字角频率 ω\omegaω ( 单位 : 弧度 ) 与模拟角频率 Ω\OmegaΩ ( 单位 : 弧度/秒 ) 关系如下 :

ω=ΩT\omega = \Omega Tω=ΩT

其中 , TTT 是采样周期 , 单位是秒 ;

ω=π4\omega = \cfrac{\pi }{4}ω=4π ,

Ω=2πf0\Omega = 2\pi f_0Ω=2πf0 , 其中 f0f_0f0 是模拟频率 , 没有单位 ,

f0=TT0f_0 = \cfrac{T}{T_0}f0=T0T , 其中 T0T_0T0 是模拟信号周期 , 这里是 2π2\pi2π ;

将上述内容代入公式 :

ω=π4=ΩT=2πTT0\omega = \cfrac{\pi }{4} = \Omega T = 2\pi \cfrac{T}{T_0}ω=4π=ΩT=2πT0T

π4=2πTT0\cfrac{\pi }{4} = 2\pi \cfrac{T}{T_0}4π=2πT0T

8T=T08T = T_08T=T0

也就是说在一个模拟采样周期中 , 至少要采集 888 个样本 ;

下图的 sin⁡\sinsin 函数中的一个周期内 , 采集了 888 个样本 ;

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