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Karp在1977年的论文，讲述了一种\(O(nm)\)的算法，用来求有向强连通图中最小平均权值回路（具体问题请参照这里）

本人翻译（有删改）：

首先任取一个节点 \(s\) ，定义 \(F_k(v)\) 为从 \(s\) 到 \(v\) 恰好经过 \(k\) 条边的最短路（不存在则为 \(\infty\) ）， \(\lambda^*\) 表示答案，则

Theorem 1

\[\tag{1}\label{theorem}\lambda^* = \min_{v \in V} \max_{0 \leq k \leq n - 1} \left[\frac{F_n(v)-F_k(v)}{n-k}\right]\]

定理1的证明需要一个引理。

Lemma 2

如果\(\lambda^* = 0\),那么

\[\min_{v \in V} \max_{0 \leq k \leq n - 1} \left[\frac{F_n(v)-F_k(v)}{n-k}\right] = 0\]

Proof. 由于 \(\lambda^* = 0\) , 存在一个零环，但不存在负环。由于没有负环，从 \(s\) 到 \(v\) 一定存在最短路（指取值和最小路径），且路径上边的条数不超过 \(n\) 。令其权值和为 \(\pi(v)\) , 则 \(F_n(v) \geq \pi(v)\) , 且 \(\pi(v) = \min_{0 \leq k \leq n - 1} F_k(v)\) , 所以

\[F_n(v) - \pi(v) = \max_{0 \leq k \leq n - 1} [F_n(v) - F_k(v)]\]

又由\(F_n(v) \geq \pi(v)\)，

\[\tag{2}\label{lemma}\max_{0 \leq k \leq n - 1} \left[\frac{F_n(v)-F_k(v)}{n-k}\right] \geq 0\]

\((\ref{lemma})\) 中等号成立当且仅当 \(F_n(v) = \pi(v)\) . 现在我们只需要证明存在这样一个节点就可以完成此引理的证明。由条件可知，图中存在零环。令此零环为 \(C\) ,在环上任选一点 \(x\) , 沿环上的边走若干步后到 \(x\) , 那么 \(s\leadsto x\leadsto y\) 一定是一条 \(s-y\) 最短路（不然的话，有某条路径\(s\leadsto y\)权值和小于这条路径，我们就可以走\(s\leadsto y \leadsto x\)，第二部分路径在环上走，容易发现这样是更短的\(s-x\)路径，与最短路不符）。那么，从 \(x\) 出发沿零环走若干步直到 \(s\leadsto x\leadsto y\) 上有\(n\)条边时，就有 \(F_n(y) = \pi(y)\) , 即\[\max_{0 \leq k \leq n - 1} \left[\frac{F_n(v)-F_k(v)}{n-k}\right] = 0\]. 证毕。

Proof of Theorem 1. 我们现在讨论将图中所有边权都增加 \(c\) 之后定理1中的两边会怎么变化。 \(\lambda^*\) 增加\(c\) , 因为所有环的平均权值都增加了 \(c\) . \(F_k(v)\) 会增加 \(kc\) ,

\[\min_{v \in V} \max_{0 \leq k \leq n - 1} \left[\frac{F_n(v)-F_k(v)}{n-k}\right]\]

也会增加 \(c\) . 所以定理1等号两边都增加了相同的量，仍然成立。据此，若给定任意一个图，我们将它的所有的边都同时减去某个数\(c\)（有可能小于0），使得存在零环而无负环，这时定理成立；我们再把每条边都加上\(c\)，就可以得知原图中定理成立。 证毕。

我们可以通过下述递推式求出所有 \(F_k(v)\) :

\[F_k(v) = \min_{(u, v) \in E} \left[F_{k - 1}(u) + w(u, v)\right],\,k=1,2,...,n\]

其初始条件

\[F_0(s)=0; F_0(v)=\infty,v\neq s\]

由于每条边会被松弛 \(O(n)\) 次，最后求出 \(\lambda^*\) 的值需要 \(O(n^2)\) , 总时间复杂度为 \(O(nm)\) .

原论文中要求图强连通，实际上不必如此（以下原创）。

容易发现，如果图不强连通，只有两个地方可能会出问题：第一，可能有些环从\(s\)无法达到，从而无法参与计算；第二，\(F_n(v)\)有可能是正无穷（而强连通图一定不是）。

那么，我们新建一个点（注意，实现时可能不显式写出这个点，但式子里的\(n\)必须要算到\(n+1\)，或者强行把所有\(F\)的下标都减一也可以），从它到每个点连一条权值任意（比如都为0）的边，容易知道答案不变。以新的节点作为\(s\)，漏洞一就被填补了。

对于第二个漏洞：计算 \(\lambda^*\) 时，由于我们从 \(s\) 向每个点连了一条边，若 \(F_n(v) = \infty\) , 其一定不在任何一个环上（不然显然我可以在这个环上走几圈然后肯定能到这个点），直接忽略。

所以，对于任意有向图\(G\)，添加\(s\)点之后，

\[\lambda^*=\min_{v \in V,F_n(v)\neq \infty} \max_{0 \leq k \leq n - 1} \left[\frac{F_n(v)-F_k(v)}{n-k}\right]\qquad\]