康托展开（Cantor expansion）

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射。所以可逆。

康托展开：给定一个数n,和一个n位的全排列，求出这个排列是第几位X
逆康托展开：给定一个数n，和这个排列占第几位X, 求出这个排列

这里X（注意第一个排列是X=0，所以为了方便，我们以后直接+1即可。）

an表示在从（1,2,3，…n）的顺序中，小于an并且没有被排列的个数。

如34152，

a5=2(只有1,2小于3)
a4=2(3被排列了，只有1,2小于4)
a3=0（没有比1小的）
a2=1（1,3,4被排列，小于5的只有2）
a1=0

康拓展开代码实现，复杂度O(N*N)

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;
int factorial[20]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800};
int flag[20];
void cantor(int  *num,int n){int x=0;int tep=n-1;for(int i=1;i<=n;i++){//遍历num数组 int cot=0;for(int j=1;j<num[i];j++)//找到小于num[i]的数字{if(j<num[i]&&flag[j]==0) cot++;  }flag[num[i]]=1;x+=cot*factorial[tep--]; }cout<<x+1;
}
int main(void)
{int num[20]={0,3,4,1,5,2};//求34152在排列中排多少int n=5;cantor(num,n);//n位 }

输出34152是第62个排列

逆康拓展开

前面讨论了X加不加1的问题，如果+1了，这里要-1；如果没有+1，不需要-1
例如 n=5,x=62,排列就是34152，看看如何计算出a5，a4…

首先减一：x=61
a5=x/4!=61/4!=2,说明比首位小的有两个，所以a5=3。x=61%4!=13
a4=13/3!=2,说明除去首位，比第二小的有2个，所以a4=4。X=13%3!=1
a3=1/2!=0,说明除去首位和第二位，小于第三位的有0个，所以a3=1。x=1%2!=1
a4=1/1!=1,所以，a4=5。x=1%1=0
a5=0/1=0,所以a5=2.最后一个数
即34152.

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;
int factorial[20]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800};
int nums[20]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
vector<int>num(nums+1,nums+11);
void decantor(int n,int x){vector<int>ans;for(int i=n;i>=1;i--){int a=x/factorial[i-1];x=x%factorial[i-1];ans.push_back(num[a]);num.erase(num.begin()+a); }for(auto a:ans) cout<<a;
}
int main(void)
{int n=5;int x=62;decantor(n,x-1);//n位 }

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