本文授权自马同学高等数学

欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立和三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。形式简单，结果惊人，欧拉本人都把这个公式刻在皇家科学院的大门上，看来必须好好推敲一番。

1 复数

在进入欧拉公式之前，我们先看一些重要的复数概念。

1.1  的由来

 ，这个就是  的定义。虚数的出现，把实数数系进一步扩张，扩张到了复平面。实数轴已经被自然数、整数、有理数、无理数塞满了，虚数只好向二维要空间了。

可是，这是最不能让人接受的一次数系扩张，听它的名字就感觉它是“虚”的：

• 从自然数扩张到整数：增加的负数可以对应“欠债、减少”

• 从整数扩张到有理数：增加的分数可以对应“分割、部分”

• 从有理数扩张到实数：增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度（ ）”

• 从实数扩张到复数：增加的虚数对应什么？

虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了（即复数开方运算之后得到的仍然是复数）。

看起来我们没有必要去理会  到底等于多少，我们规定  没有意义就可以了嘛，就好像  一样。

我们来看一下，一元二次方程  的万能公式：其根可以表示为：  ，其判别式  。

•  ：有两个不等的实数根

•  ：有两个相等的实数根

•  ：有两个不同的复数根，其实规定为无意义就好了，干嘛理会这种情况？

我们再看一下，一元三次方程  ，一元三次方程的解太复杂了，这里写不下，大家可以参考维基百科，但愿大家能够打开。

我们讨论一下  ，此时，一元三次方程可以化为  ，其根可以表示为：

其中  。

判别式为  ，注意观察解的形式，  是被包含在根式里面的。

•  ：有一个实数根和两个复数根

•  ：有三个实数根，当  ，根为0，当  ，三个根里面有两个相等

•  ：有三个不等的实根！懵了，要通过复数才能求得实根？

要想求解三次方程的根，就绕不开复数了吗？后来虽然发现可以在判别式为负的时候通过三角函数计算得到实根，但是在当时并不知道，所以开始思考复数到底是什么？

我们认为虚数可有可无，虚数却实力刷了存在感。虚数确实没有现实的对应物，只在形式上被定义，但又必不可少。数学界慢慢接受了复数的存在，并且成为重要的分支。

1.2 复平面上的单位圆

在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：

我们来动手玩玩单位圆：

1.3 复平面上乘法的几何意义

同样来感受一下：

2 欧拉公式

对于  ，有  。

----维基百科

欧拉公式在形式上很简单，是怎么发现的呢？

2.1 欧拉公式与泰勒公式

欧拉最早是通过泰勒公式观察出欧拉公式的：

将  代入  可得：

那欧拉公式怎么可以有一个直观的理解呢？

2.2 对同一个点不同的描述方式

我们可以把  看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点，  通过复平面的坐标来描述单位圆上的点，是同一个点不同的描述方式，所以有 。

2.3 为什么  是圆周运动？

定义  为： 

----维基百科

这是实数域上的定义，可以推广到复数域  。根据之前对复数乘法的描述，乘上  是进行伸缩和旋转运动，  取值不同，伸缩和旋转的幅度不同。

我们来看看  如何在圆周上完成1弧度的圆周运动的：

从图上可以推出  时，  在单位圆上转动了1弧度。

再来看看  ，这个应该是在单位圆上转动  弧度：

看来  确实是单位圆周上的圆周运动。

动手来看看  是如何运动的吧：

2.4  的几何含义是什么？

 看不出来有什么几何含义，不过我们稍微做个变换  ，几何含义还是挺明显的，沿圆周运动  弧度。

2.5 欧拉公式与三角函数

根据欧拉公式  ，可以轻易推出：

 和  。三角函数定义域被扩大到了复数域。

我们把复数当作向量来看待，复数的实部是  方向，虚部是  方向，很容易观察出其几何意义。

2.6 欧拉恒等式

当  的时候，代入欧拉公式：

 。

 就是欧拉恒等式，被誉为上帝公式，  、  、  、乘法单位元1、加法单位元0，这五个重要的数学元素全部被包含在内，在数学爱好者眼里，仿佛一行诗道尽了数学的美好。