如何通俗地解释欧拉公式（e^πi+1=0）？

原文：https://www.matongxue.com/madocs/8.html

欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立和三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。形式简单，结果惊人，欧拉本人都把这个公式刻在皇家科学院的大门上，看来必须好好推敲一番。

1 复数

在进入欧拉公式之前，我们先看一些重要的复数概念。

1.1 ii的由来

i=√−1i=−1，这个就是ii的定义。虚数的出现，把实数数系进一步扩张，扩张到了复平面。实数轴已经被自然数、整数、有理数、无理数塞满了，虚数只好向二维要空间了。

可是，这是最不能让人接受的一次数系扩张，听它的名字就感觉它是“虚”的：

• 从自然数扩张到整数： 增加的负数可以对应“欠债、减少”
• 从整数扩张到有理数： 增加的分数可以对应“分割、部分”
• 从有理数扩张到实数： 增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度（√22）”
• 从实数扩张到复数： 增加的虚数对应什么？

虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了（即复数开方运算之后得到的仍然是复数）。

看起来我们没有必要去理会√−1−1到底等于多少，我们规定√−1−1没有意义就可以了嘛，就好像1010一样。

我们来看一下，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)的万能公式：其根可以表示为：x=−b±√b2−4ac2ax=−b±b2−4ac2a，其判别式Δ=b2−4acΔ=b2−4ac。

• Δ>0Δ>0： 有两个不等的实数根
• Δ=0Δ=0： 有两个相等的实数根
• $\Delta

我们再看一下，一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)，一元三次方程的解太复杂了，这里写不下，大家可以参考 维基百科 ，但愿大家能够打开。

我们讨论一下b=0b=0，此时，一元三次方程可以化为x3+px+q=0x3+px+q=0，其根可以表示为：

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩x1=3√−q2+√(q2)2+(p3)3+3√−q2−√(q2)2+(p3)3x2=ω3√−q2+√(q2)2+(p3)3+ω23√−q2−√(q2)2+(p3)3x3=ω23√−q2+√(q2)2+(p3)3+ω3√−q2−√(q2)2+(p3)3{x1=−q2+(q2)2+(p3)33+−q2−(q2)2+(p3)33x2=ω−q2+(q2)2+(p3)33+ω2−q2−(q2)2+(p3)33x3=ω2−q2+(q2)2+(p3)33+ω−q2−(q2)2+(p3)33

其中ω=−1+√3i2ω=−1+3i2。

判别式为Δ=(q2)2+(p3)3Δ=(q2)2+(p3)3，注意观察解的形式，ΔΔ是被包含在根式里面的。

• Δ>0Δ>0： 有一个实数根和两个复数根
• Δ=0Δ=0： 有三个实数根，当p=q=0p=q=0，根为0，当p,q≠0p,q≠0，三个根里面有两个相等
• $\Delta

要想求解三次方程的根，就绕不开复数了吗？后来虽然发现可以在判别式为负的时候通过三角函数计算得到实根，但是在当时并不知道，所以开始思考复数到底是什么？

我们认为虚数可有可无，虚数却实力刷了存在感。虚数确实没有现实的对应物，只在形式上被定义，但又必不可少。数学界慢慢接受了复数的存在，并且成为重要的分支。

1.2 复平面上的单位圆

在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：

我们来动手玩玩单位圆：

1.3 复平面上乘法的几何意义

同样来感受一下：

2 欧拉公式

欧拉公式在形式上很简单，是怎么发现的呢？

2.1 欧拉公式与泰勒公式

关于泰勒公式可以参看这篇详尽的科普文章：

如何通俗地解释泰勒公式？ 。

欧拉最早是通过泰勒公式观察出欧拉公式的：

ex=1+x+12!x2+13!x3+⋯ex=1+x+12!x2+13!x3+⋯

sin(x)=x−13!x3+15!x5+⋯sin(x)=x−13!x3+15!x5+⋯

cos(x)=1−12!x2+14!x4+⋯cos(x)=1−12!x2+14!x4+⋯

将x=iθx=iθ代入ee可得：

eiθ=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+(iθ)44!+(iθ)55!+(iθ)66!+(iθ)77!+(iθ)88!+⋯=1+iθ−θ22!−iθ33!+θ44!+iθ55!−θ66!−iθ77!+θ88!+⋯=(1−θ22!+θ44!−θ66!+θ88!−⋯)+i(θ−θ33!+θ55!−θ77!+⋯)=cosθ+isinθeiθ=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+(iθ)44!+(iθ)55!+(iθ)66!+(iθ)77!+(iθ)88!+⋯=1+iθ−θ22!−iθ33!+θ44!+iθ55!−θ66!−iθ77!+θ88!+⋯=(1−θ22!+θ44!−θ66!+θ88!−⋯)+i(θ−θ33!+θ55!−θ77!+⋯)=cos⁡θ+isin⁡θ

那欧拉公式怎么可以有一个直观的理解呢？

2.2 对同一个点不同的描述方式

我们可以把eiθeiθ看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点，cosθ+isinθcosθ+isinθ通过复平面的坐标来描述单位圆上的点，是同一个点不同的描述方式，所以有eiθ=cosθ+isinθeiθ=cosθ+isinθ。

2.3 为什么eiθeiθ是圆周运动？

这是实数域上的定义，可以推广到复数域ei=limn→∞(1+in)nei=limn→∞(1+in)n。根据之前对复数乘法的描述，乘上(1+in)(1+in)是进行伸缩和旋转运动，nn取值不同，伸缩和旋转的幅度不同。

我们来看看ei=ei×1ei=ei×1如何在圆周上完成1弧度的圆周运动的：

从图上可以推出n→∞n→∞时，eiei在单位圆上转动了1弧度。

再来看看eiπeiπ，这个应该是在单位圆上转动ππ弧度：

看来eiθeiθ确实是单位圆周上的圆周运动。

动手来看看eiθeiθ是如何运动的吧：

2.4 2i2i的几何含义是什么？

2i2i看不出来有什么几何含义，不过我们稍微做个变换eiln2eiln2，几何含义还是挺明显的，沿圆周运动ln2ln2弧度。

2.5 欧拉公式与三角函数

根据欧拉公式eiθ=cosθ+isinθeiθ=cos⁡θ+isin⁡θ，可以轻易推出：

sinθ=eiθ−e−iθ2isin⁡θ=eiθ−e−iθ2i和cosθ=eiθ+e−iθ2cos⁡θ=eiθ+e−iθ2。三角函数定义域被扩大到了复数域。

我们把复数当作向量来看待，复数的实部是xx方向，虚部是yy方向，很容易观察出其几何意义。

2.6 欧拉恒等式

当θ=πθ=π的时候，代入欧拉公式：

eiπ=cosπ+isinπ=−1⟹eiπ+1=0eiπ=cosπ+isinπ=−1⟹eiπ+1=0。

eiπ+1=0eiπ+1=0就是欧拉恒等式，被誉为上帝公式，ee、ππ、ii、乘法单位元1、加法单位元0，这五个重要的数学元素全部被包含在内，在数学爱好者眼里，仿佛一行诗道尽了数学的美好。