【集合论】二元关系 ( 二元关系记法 | A 到 B 的二元关系 | 二元关系个数 | 二元关系示例 )
文章目录
- 一、 二元关系
- 二、 二元关系记法
- 三、 A 到 B 的二元关系
- 四、 A 到 B 的二元关系个数
- 五、 A 到 B 的二元关系举例
一、 二元关系
nnn 元关系 :
元素 都是 有序 nnn 元组的集合 ;
nnn 元关系示例 :
3 元关系 : F1={<1,2,3>,<a,b,c>,<数学,物理,化学>}F_1 = \{ <1, 2, 3> , <a, b, c> , <数学 , 物理 , 化学> \}F1={<1,2,3>,<a,b,c>,<数学,物理,化学>}
F1F_1F1 是 333 元关系 , 其每个元素都是 有序 333 元组 ;
4 元关系 : F2={<1,2,3,4>,<a,b,c,d>,<语文,数学,物理,化学>}F_2 = \{ <1, 2, 3, 4> , <a, b, c, d> , <语文 , 数学 , 物理 , 化学> \}F2={<1,2,3,4>,<a,b,c,d>,<语文,数学,物理,化学>}
F2F_2F2 是 444 元关系 , 其每个元素都是 有序 444 元组 ;
上述有序 nnn 元组 , 个数相同 , 元素性质可以不同 ;
二、 二元关系记法
如果 FFF 是二元关系 ( FFF 是有序 222 元组集合 )
则有 :
<x,y>∈F<x, y> \in F<x,y>∈F
⇔\Leftrightarrow⇔
x与y有F关系x 与 y 有 F 关系x与y有F关系
⇔\Leftrightarrow⇔
xFyxFyxFy
二元关系记法 :
① 中缀记法 ( infix ) : xFyxFyxFy
② 前缀记法 ( prefix ) : F(x,y)F(x, y)F(x,y) , 或 FxyFxyFxy
③ 后缀记法 ( suffix ) : <x,y>∈F<x,y> \in F<x,y>∈F , 或 xyFxyFxyF
如 : 2<52 < 52<5 , 222 小于 555 ;
① 中缀记法 ( infix ) : 2<52 < 52<5
② 前缀记法 ( prefix ) : <(2,5)<(2, 5)<(2,5)
③ 后缀记法 ( suffix ) : <2,5>∈<<2,5> \in <<2,5>∈<
三、 A 到 B 的二元关系
AAA 到 BBB 的二元关系概念 :
A×BA \times BA×B 的 任意子集 是 AAA 到 BBB 的二元关系
⇔\Leftrightarrow⇔
R⊆A×BR \subseteq A \times BR⊆A×B
⇔\Leftrightarrow⇔
R∈P(A×B)R \in P(A \times B)R∈P(A×B)
AAA 到 BBB 的二元关系 其中可能有 111 个集合 , 222 个集合 , ⋯\cdots⋯ , nnn 个集合 ;
四、 A 到 B 的二元关系个数
AAA 到 BBB 的二元关系个数 :
∣A∣=m|A| = m∣A∣=m , ∣B∣=n|B| = n∣B∣=n
AAA 集合元素个数 mmm 个 , BBB 集合元素个数 nnn 个 ;
有序对个数 : ∣A×B∣=mn|A \times B| = mn∣A×B∣=mn
二元关系 个数 : ∣P(A×B)=2mn∣|P(A \times B) = 2^{mn}|∣P(A×B)=2mn∣ , 即 上述 mnmnmn 个有序对总集合的 幂集 个数 ;
AAA 到 BBB 的二元关系个数 = A×BA \times BA×B 幂集个数 = 2mn2^{mn}2mn 个
五、 A 到 B 的二元关系举例
A={a1,a2}A = \{a_1, a_2\}A={a1,a2} , B={b}B = \{ b \}B={b}
AAA 集合 与 BBB 集合的卡氏积是 :
A×B={∅,{<a1,b>},{<a2,b>}}A \times B = \{ \varnothing, \{ <a_1 , b> \} , \{ <a_2 , b> \} \}A×B={∅,{<a1,b>},{<a2,b>}}
分析 : 其中有 333 个有序对 , 其二元关系个数有 22×1=42^{2 \times 1} = 422×1=4 个 , 即 上述 有序对集合的幂集 , 分别是 有 000 个有序对的个数 000 个 , 111 个有序对的个数 222 个 , 222 个有序对个数 111 个 ;
AAA 集合 到 BBB 集合的 二元关系 : 有 444 个 ;
R1=∅R_1 = \varnothingR1=∅ , a1a_1a1 与 bbb 没有关系 , a2a_2a2 与 bbb 没有关系 ;
R2={<a1,b>}R_2 = \{ <a_1 , b> \}R2={<a1,b>} , a1a_1a1 与 bbb 有关系 , a2a_2a2 与 bbb 没有关系 ;
R3={<a2,b>}R_3 = \{ <a_2 , b> \}R3={<a2,b>} , a1a_1a1 与 bbb 有关系 , a2a_2a2 与 bbb 没有关系 ;
R4={<a1,b>,<a2,b>}R_4 = \{ <a_1 , b> , <a_2, b> \}R4={<a1,b>,<a2,b>} , a2a_2a2 与 bbb 有关系 , a1a_1a1 与 bbb有关系 ;
BBB 集合 与 AAA 集合的卡氏积是 :
A×B={∅,{<b,a1>},{<b,a2>}}A \times B = \{ \varnothing, \{ <b, a_1 > \} , \{ <b, a_2 > \} \}A×B={∅,{<b,a1>},{<b,a2>}}
分析 : 其中有 333 个有序对 , 其二元关系个数有 22×1=42^{2 \times 1} = 422×1=4 个 , 即 上述 有序对集合的幂集 , 分别是 有 000 个有序对的个数 000 个 , 111 个有序对的个数 222 个 , 222 个有序对个数 111 个 ;
BBB 集合 到 AAA 集合的 二元关系 : 有 444 个 ;
R5=∅R_5 = \varnothingR5=∅ , bbb 与 a1a_1a1 没有关系 , bbb 与 a2a_2a2 没有关系 ;
R6={<b,a1>}R_6 = \{ <b, a_1 > \}R6={<b,a1>} , bbb 与 a1a_1a1 有关系 , bbb 与 a2a_2a2 没有关系 ;
R7={<b,a2>}R_7 = \{ <b, a_2> \}R7={<b,a2>} ,bbb 与 a1a_1a1 没有关系 , bbb 与 a2a_2a2 有关系 ;
R8={<b,a1>,<b,a2>}R_8 = \{ <b, a_1 > , <b, a_2> \}R8={<b,a1>,<b,a2>} , bbb 与 a1a_1a1 有关系 , bbb 与 a2a_2a2 有关系 ;
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