【集合论】二元关系 ( A 上二元关系 | A 上二元关系示例 )
文章目录
- 一、 A 上二元关系
- 二、 A 上二元关系个数
- 三、 A 上二元关系 示例 ( 集合中有两个元素 )
- 四、 A 上二元关系 示例 ( 集合中有两个元素 )
一、 A 上二元关系
AAA 上二元关系 :
是 A×AA \times AA×A 卡氏积的任意子集
RRR 是 AAA 上的二元关系
⇔\Leftrightarrow⇔
R⊆A×AR \subseteq A \times AR⊆A×A
⇔\Leftrightarrow⇔
R∈P(A×A)R \in P(A \times A)R∈P(A×A)
二、 A 上二元关系个数
集合 AAA 的元素个数是 ∣A∣=m|A| = m∣A∣=m
A×AA \times AA×A 卡氏积集合 中 有序对 元素个数是 ∣A×A∣=m2|A \times A| = m^2∣A×A∣=m2 个 ;
A×AA \times AA×A 卡氏积 幂集个数是 ∣P(A×A)∣=2m2|P(A \times A)| = 2^{m^2}∣P(A×A)∣=2m2
AAA 上的二元关系个数有 2m22^{m^2}2m2 个 ;
如果 AAA 集合中有 111 个元素 , AAA 上的二元关系有 212=22^{1^2} = 2212=2 个 ;
如果 AAA 集合中有 222 个元素 , AAA 上的二元关系有 222=162^{2^2} = 16222=16 个 ;
如果 AAA 集合中有 333 个元素 , AAA 上的二元关系有 232=5122^{3^2} = 512232=512 个 ;
三、 A 上二元关系 示例 ( 集合中有两个元素 )
B={b}B = \{ b \}B={b}
集合 BBB 的元素个数是 ∣B∣=1|B| = 1∣B∣=1
B×BB \times BB×B 卡氏积集合 中 有序对 元素个数是 ∣B×B∣=12=1|B \times B| = 1^2 = 1∣B×B∣=12=1 个 ;
B×BB \times BB×B 卡氏积 幂集个数是 ∣P(B×B)∣=212=2|P(B \times B)| = 2^{1^2} = 2∣P(B×B)∣=212=2
AAA 上的二元关系个数有 212=22^{1^2} = 2212=2 个 ;
000 个 有序对 的二元关系 :
R1=∅R_1 = \varnothingR1=∅
111 个 有序对 的二元关系 :
R2={b,b}R_2 = \{ b , b \}R2={b,b}
四、 A 上二元关系 示例 ( 集合中有两个元素 )
集合 A={a1,a2}A = \{ a_1 , a_2 \}A={a1,a2}
则 AAA 上的二元关系有 161616 个 ;
A×AA \times AA×A 卡氏积集合 中有序对个数有 444 个 ;
A×AA \times AA×A 卡氏积集合 幂集个数有 24=162^4 = 1624=16 ;
000 个 有序对 的二元关系 : 111 个
R1=∅R_1 = \varnothingR1=∅
111 个 有序对 的二元关系 : 444 个
R2={a1,a1}R_2 = \{ a_1 , a_1 \}R2={a1,a1}
R3={a1,a2}R_3 = \{ a_1 , a_2 \}R3={a1,a2}
R4={a2,a1}R_4 = \{ a_2 , a_1 \}R4={a2,a1}
R5={a2,a2}R_5 = \{ a_2 , a_2 \}R5={a2,a2}
222 个 有序对 的二元关系 : 666 个
R6={{a1,a1},{a1,a2}}R_6 = \{ \{ a_1 , a_1 \}, \{ a_1 , a_2 \} \}R6={{a1,a1},{a1,a2}}
R7={{a1,a1},{a2,a1}}R_7 = \{ \{ a_1 , a_1 \}, \{ a_2 , a_1 \} \}R7={{a1,a1},{a2,a1}}
R8={{a1,a1},{a2,a2}}R_8 = \{ \{ a_1 , a_1 \}, \{ a_2 , a_2 \} \}R8={{a1,a1},{a2,a2}}
R9={{a1,a2},{a2,a1}}R_9= \{ \{ a_1 , a_2 \} , \{ a_2 , a_1 \} \}R9={{a1,a2},{a2,a1}}
R10={{a1,a2},{a2,a2}}R_{10}= \{ \{ a_1 , a_2 \} , \{ a_2 , a_2 \} \}R10={{a1,a2},{a2,a2}}
R11={{a2,a1},{a2,a2}}R_{11}= \{ \{ a_2 , a_1 \} , \{ a_2 , a_2 \} \}R11={{a2,a1},{a2,a2}}
333 个 有序对 的二元关系 : 444 个
R12={{a1,a1},{a1,a2},{a2,a1}}R_{12} = \{ \{ a_1 , a_1 \}, \{ a_1 , a_2 \} , \{ a_2 , a_1 \} \}R12={{a1,a1},{a1,a2},{a2,a1}}
R13={{a1,a1},{a1,a2},{a2,a2}}R_{13} = \{ \{ a_1 , a_1 \}, \{ a_1 , a_2 \} , \{ a_2 , a_2 \}\}R13={{a1,a1},{a1,a2},{a2,a2}}
R14={{a1,a1},{a2,a1},{a2,a2}}R_{14} = \{ \{ a_1 , a_1 \}, \{ a_2 , a_1 \} , \{ a_2 , a_2 \}\}R14={{a1,a1},{a2,a1},{a2,a2}}
R15={{a1,a2},{a2,a1},{a2,a2}}R_{15} = \{ \{ a_1 , a_2 \} , \{ a_2 , a_1 \} , \{ a_2 , a_2 \}\}R15={{a1,a2},{a2,a1},{a2,a2}}
444 个 有序对 的二元关系 : 111 个
R16={{a1,a1},{a1,a2},{a2,a1},{a2,a2}}R_{16} = \{ \{ a_1 , a_1 \}, \{ a_1 , a_2 \} , \{ a_2 , a_1 \} , \{ a_2 , a_2 \}\}R16={{a1,a1},{a1,a2},{a2,a1},{a2,a2}}
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