一篇自学级数的笔记，带你轻松入门。

级数是什么：级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。

分析：可见，级数的地位和微积分相当，也是以极限为基础的。并且，上文的意思是，级数讲究的是离散。因为我们都知道，微积分是讲究连续的。

级数的简介：将数列un的项 u1，u2，…，un，…依次用加号连接起来的函数。数项级数的简称。如:u1+u2+…+un+…，简写为∑un，un称为级数的通项，记Sn=∑un称之为级数的部分和。如果当n→∞时 ，数列Sn有极限S，则说级数收敛，并以S为其和，记为∑un=S;否则就说级数发散。

分析：级数就是无穷多个数列的项求和。“收敛，发散”可以望文生义，不多解释。（吐槽：为什么要叫级数？“无穷数列”它不香吗？）

级数用处：级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为:一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示;另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。

分析：这里展示级数的作用。它可以表示“非初等函数”，（吐槽：非初等函数与我何干？）它可以表示“微分方程的解”（吐槽：这真是物理学家的真爱啊。）。它还可以“对非初等函数进行近似估算”（吐槽：这个还是交个计算机吧……）

级数的实例：级数的特点就是无限个项的加法。（吐槽：至于它怎么加的，呵呵。）

俗话说师傅领进门，修行靠个人。（吐槽：但是级数的“术语大军”能拒人于千里之外。）我们来学习几个常见术语，以此入门。（吐槽：52个术语，52个花，10^52根头发天上飘啊……）

正项级数定义：若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数。对于同号级数，只需研究各项都是由正数组成的级数，称它为正项级数。吐槽：这定义很“数学”，这不就是“级数的每一个项都大于零的级数”吗？

敛散性：收敛和发散的性质。吐槽：多么朴实无华的定义。

正项级数的收敛基本定理：正项级数

收敛的充要条件是其部分和数列Sn有界。吐槽：就算是基本定理也不能写得这么晦涩吧。虽然这不是公理，不过既然这是基本定理，我们就一定要记住。

我想了一个巧妙的办法把它记住：级数不就是无穷个数列的项的和吗，既然这里的Sn是随便取若干个级数的项（无穷个似乎也可以）。那么，这句话不就可以翻译成高中的集合论吗？级数是全集，这个所谓的“部分和数列Sn”，不就是级数的子集吗？既然是随便取子集，那么取个和全集差不多的子集，级数和Sn不就显然相等了吗？

比较审敛法：

分析：比大小，显而易见的结论。

比较审敛法的极限形式：

《无穷大的自我修养》：

，

（吐槽：无穷的世界真……NB）

比值审敛法：

分析：显然成立。这不就是等比数列的加强版吗？莫非一切审敛法都是纸老虎？（吐槽：你太年轻了……）

根值审敛法：

吐槽：大数学家柯西的大脑，吾等凡人无法理解。不过这个结论挺简洁的。

交错级数审敛法：“交错级数”顾名思义，正项与负项交替出现的级数。在交错级数中，常用莱布尼茨判别法来判断级数的收敛性，即若交错级数各项的绝对值单调递减且极限是零，则该级数收敛；此外，由莱布尼茨判别法可得到交错级数的余项估计。

吐槽：我们凭感觉学数学，谁说数学是理性的。至于余项的估计：显而易见它的误差的数量级就是级数截断时的那一项。（真·吐槽：数学进入了理性与感性的叠加态。）

至此，基础的审敛法就自学完了。总结一下：正项级数的收敛基本定理（全集子集关系）、比较审敛法（一个显而易见的方法）、比较审敛法的极限形式（《无穷大的自我修养》）、比值审敛法（等比数列加强）、根值审敛法（大数学家柯西的真情馈赠）、交错审敛法（“遇事不决，量子力学”）。

后面的审敛法水就很深了，介绍一个：

幂级数收敛的阿贝尔定理：（让人瑟瑟发抖的名字。）

吐槽：对于这种前代数学家的大礼包，我们不好妄想什么。不过好消息是，我有个好办法记住它。（盗张3blue1brown的图）

由图可得，幂级数的x超过了收敛的值就会发散，在收敛的值以内的x会收敛。（注意，这里的幂级数不是单纯的数，而是函数。）这个收敛的区域，可以理解为收敛半径。但幂级数的收敛半径水很深。这个资源可以帮助你大概了解下：（https://zhuanlan.zhihu.com/p/53921487）

泰勒定理和狄利克雷函数充分条件：还不快跪下，吾皇万岁万岁万万岁……

总结：经过几小时的自学，我发现，级数的核心是检验收敛。而检验级数收敛的办法有两类，一类靠直觉就能理解的审敛法，一类是诸如阿贝尔、泰勒、狄利克雷、傅里叶、莱布尼茨等数学家给出的高深的定理。总而言之，望下去是一片荆棘的海洋。

{极·吐槽：级数展开一时爽，审敛审到火葬场……}

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