一、圆曲线正矢的计算
1.1 圆曲线正矢的计算公式
取圆曲线上两点拉一直线,叫做弦。弦上任意点至曲线上的垂直距离叫矢或叫矢距。在弦中央点的矢距叫正矢(下图)。

AB一弦;AC、CB一半弦;CD一正矢;EF一矢距正矢计算公式为

其中: f-正矢 C-弦长 R-半径 式中单位均为m。
公式用文字表示即:正矢=(弦长X弦长)÷(8×半径)
1.2 无缓和曲线时，圆曲线始终点处正矢

如上图所示，当圆曲线与直线相连时，由于测量弦线的一端伸入到直线内，故圆曲线始、终点ZY、YZ)两侧测点的正矢与圆曲线内的各点不同。
设: 1、2测点的正矢分别为f1、f2则

当a=0、b=1时，1测点为圆曲线始点，则f1=fy÷2、f2=fy，即圆曲线始点位于2测点时其正矢为圆曲线正矢的二分之一。
直圆点正矢 fzy=f÷2
圆直点正矢 fyz=f÷2
例:圆曲线计划正矢f=100mm,a=0.15、b=0.85。求f1、f2
解：

弦长与正矢的关系

假如用20m弦,半径为2500m,则正矢=20mm；
假如用10m弦,半径为2500m,则正矢=5mm；
假如用5m弦,半径为2500m,则正矢=1.25mm；
同理,假如半径500m,则
弦长20m时,正矢=100mm；
弦长10m时,正矢=25mm；
弦长5m时,正矢=6.25mm；
根据这两个例题,可以找出弦长与正矢的关系:当半径不变,弦长为原弦长的1/2倍时,正矢为原正矢的1/4倍;弦长为1/4倍时，正矢为1/16倍,因此弦长为n倍时，则正矢为n²倍。
曲线上任意点矢距的计算

如上图所示,设弦长AB=C,如上所述,

距AB弦始终点为a的任意点的矢距f',等于正矢f减去以(C-2a)为弦的正矢，即

二、缓和曲线正矢的计算
缓和曲线的半径是由无穷大逐渐变为与圆曲线半径相同。由于缓和曲线的半径是变化的，所以缓和曲线上各点正矢都不一样，其变化规律是由始点向圆曲线方向渐次增加一定的量。现将缓和曲线各部正矢的计算分述如下。
2.1 缓和曲线正矢的计算公式

式中
fx-缓和曲线正矢;
n-测点点号;
m-缓和曲线分段数;
fc-圆曲线正矢。

例:设圆曲线正矢为120mm,缓和曲线等分6段（上图),则缓和曲线上各测点的正矢为

从上面例子可以看出，缓和曲线各测点正矢递增量是一个常数,即等于圆曲线的正矢除缓和曲线分段数(测点数)。
用公式表示即为缓和曲线各测点递增量=圆曲线正矢/缓和曲线分段数
例:圆曲线正矢为120mm,将缓和曲线等分为6段,则每点正矢递增量为递增量fd=120/6=20mm
同上可得
测点1的正矢=1×fd=1×20=20mm
测点2的正矢=2×fd=2×20=40mm
测点3的正矢=3×fd=3×20=60mm
测点4的正矢=4×fd=4×20=80mm
测点5的正矢=5×fd=5×20=100mm
2.2 缓和曲线始终点正矢的计算
测点在缓和曲线始终点时，缓和曲线起点(直缓ZH、缓直HZ)的正矢为缓和曲线递增量的六分之一;缓和曲线终点(缓圆HY、圆缓YH)的正矢为圆曲线正矢减去缓和曲线正矢递增量的六分之一(即减去缓和曲线始点的正矢)。
以公式表示为:缓和曲线始点正矢=缓和曲线正矢递增量÷6缓和曲线终点正矢=圆曲线正矢-缓和曲线始点正矢
例:圆曲线正矢为100mm,缓和曲线测点分成5段(即缓和曲线长为50m),缓和曲线的始终点正矢为
缓和曲线的正矢递增量=100÷5=20mm
缓和曲线始点正矢=20÷6≈3mm
缓和曲线终点正矢= 100-20÷6≈97mm
2.3 缓和曲线始点(ZH、HZ)相邻测点的正矢

如图所示，设1、2两测点分别在ZH点两侧，与ZH点相距分别为aλ、bλ，λ为测点间的距离，等于弦长的一半，a+b=λ， 则:
公式：

上式中：a和b均为段，即a=a/λ,b=b/λ。
当缓和曲线始点(ZH) 1位于点时，此时a=0、b=1则:f1=1/6×fdf2=fd
例:缓和曲线20m弦正矢递变率fd=30mm，1测点和2测点距ZH点分别为a=7.5m，b=2.5m，求f1和f2
弦长为20m，那么点间距λ=10，则a=7.5/10=0.75段，b=2.5/10=0.25段

2.4 缓和曲线终点(HY、 YH) 相邻两点的正矢

如图所示，n和n+1为与缓圆点相邻的两个测点，距缓圆点分别为bλ和aλ。
则：

当缓和曲线始点(ZH)位于1n点时，a=1、b=0

即当缓和曲线始点(ZH)位于测点时，其正矢为圆曲线正矢减缓和曲线正矢递诚变率的六分之一。
例:圆曲线20m弦计划正矢fy=90mm,缓和曲线正矢递减变率fd=30mm,设n测点距HY点距离为7.5m，n+1测点距HY点距离为2.5m，求fn和fn+1。
弦长为20m，那么点间距λ=10，则a=7.5/10=0.75段，b=2.5/10=0.25段

本文转自：轨魅网

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