隐马尔科夫模型的结构
- 马尔科夫链与隐马尔科夫模型
- 实例
- HMM的要素
- 模型的性质
推理问题：HMM的状态解码
- 隐状态解码问题
- 最大路径概率与维特比算法
- 使用维特比算法解码
- 实例演示
- 基于Python对盒子摸球实验进行状态解码

隐马尔科夫模型的结构

马尔科夫链与隐马尔科夫模型

隐马尔科夫模型的全称为 Hidden Markov Model（HMM），这是一种统计模型，广泛应用于语音识别，词性自动标注等问题。马尔科夫链（回顾第十四课-马尔科夫链）与HMM的差距体现于Hidden，在这个模型中，首先由一个隐藏的马尔科夫链随机生成一个状态随机序列，再由状态随机序列中的每一个状态对应生成各自的观测，由这些观测构成一个观测随机序列。

实例

为了清晰说明问题，现在通过举例介绍HMM，第一个例子叫做：盒子摸球实验。有3个盒子，编号为1号，2号，3号，每个盒子里都装着个数不等的黑球和白球，具体情况如下描述：

1号盒子：黑球2个，白球8个；
2号盒子：黑球6个，白球4个；
3号盒子：黑球4个，白球6个；

实验过程如下：

每次先随机选择一个盒子，然后从随机选中的盒子中随机摸出一个球，并记录球的颜色，最后把球放回盒子。下一次再随机选择一个盒子，重复以上操作。

在实验过程中，我们只能在每次摸出球之后看到被摸出球的颜色，但不知道盒子的编号。因此，随着实验的进行，会依次出现不同编号的盒子，这个盒子的序列就是隐藏的状态序列ZZZ。由于我们只能观测到球的颜色，所以球的颜色序列为观测序列XXX。

现在，我们假设每次盒子随机出现的过程是马尔科夫过程，状态集合为Q=Q=Q={盒子1，盒子2，盒子3}，N=3N=3N=3。同时，第一次各个盒子出现所满足的概率分布如下：

1号盒子出现的概率：0.3；
2号盒子出现的概率：0.5；
3号盒子出现的概率：0.2；

用π\piπ表示初始状态的概率向量为：π=(0.3,0.5,0.2)T\pi=(0.3,0.5,0.2)^{T}π=(0.3,0.5,0.2)T，这就是状态的初始概率分布。

同时假设各个盒子之间相互转换的概率转移图如下：

从上图可以得到关于盒子的状态转移矩阵，记作AAA：

对于实验中隐藏的状态序列，即三个盒子随机出现的过程如上所述，下面是从盒子中摸球的过程，比如在1号盒子中：黑球2个，白球8个，摸球后并放回。这是最简单的古典概型，从1号盒子中摸出黑球的概率为0.2，摸出白球的概率为0.8，即观测概率，也叫输出概率，它是从特定的隐含状态中生成指定观测的概率。

同样的，我们可以把2号盒子和3号盒子的观测概率求出，得到另一个矩阵（观测概率矩阵BBB）：

观测集合为V=V=V={黑球，白球}，M=2M=2M=2。

通过以上描述，重复7次上述过程，得到两个序列：

一个是长度为7的隐藏状态序列：I=I=I={2号，2号，1号，3号，1号，2号，3号}；注意这个序列是实际存在的，只是我们不能观测到；
另一个是长度为7的观测序列：O=O=O={黑球，黑球，白球，黑球，白球，白球，黑球}，这是我们可以观测到的序列；

在本次盒子摸球实验中，可以得到以下序列关系：

上图直观表达了HMM的两个核心：

1.隐：即状态序列，盒子序列是我们看不到的，即隐藏的；
2.马尔科夫：指的是整个隐藏状态序列，隐状态之间的转换是一个马尔科夫过程，即隐状态之间的转换遵循指定的概率。

将以上信息反映到概率转移图中，可以看到隐马尔科夫的全部信息：

另一个实例更加贴近生活，一个婴儿有两种状态：{饿了，困了}，但是婴儿不会说话，所以我们无法观测到这两个状态。我们只能从他的行为去推断隐状态，行为有三种：{哭闹，无精打采，爬来爬去}，这就是观测集。

隐状态之间的转移是一个马尔科夫过程，而从状态表现出的行为也会符合一定的概率分布：

这其中的状态集合QQQ，观测集合VVV，状态转移概率矩阵AAA，观测概率矩阵BBB，可以直观从上图得到。

HMM的要素

通过上面的两个实例，用形式化的语言总结HMM的要素：

HMM是一个时序模型，首先由一个隐藏的马尔科夫链按照其设定的状态转移概率，生成一个状态序列，但是这个状态序列是不能观测到的，然后再由每个状态按照观测概率（又称为输出概率）生成对应的观测，由此构成可观测的观测序列。

HMM中所有的隐含状态构成状态集合Q={q1,q2,...,qN}Q=\left\{q_{1},q_{2},...,q_{N}\right\}Q={q1,q2,...,qN}，状态个数为NNN，所有的观测构成观测集合V={v1,v2,...,vM}V=\left\{v_{1},v_{2},...,v_{M}\right\}V={v1,v2,...,vM}，观测的个数为MMM。经过一段时间TTT之后，生成长度为TTT的状态序列I={i1,i2,...,iT}I=\left\{i_{1},i_{2},...,i_{T}\right\}I={i1,i2,...,iT}和对应的观测序列O={o1,o2,...,oT}O=\left\{o_{1},o_{2},...,o_{T}\right\}O={o1,o2,...,oT}。

以上是HMM的外在表征，推动HMM运行的是三个要素：状态转移概率矩阵AAA，观测概率矩阵BBB（输出概率矩阵），初始隐含状态的概率向量π\piπ，简写为λ={A,B,π}\lambda=\left\{A,B,\pi\right\}λ={A,B,π}。

初始概率向量π=(π1,π2,...,πN)\pi=(\pi_{1},\pi_{2},...,\pi_{N})π=(π1,π2,...,πN)，其中πn\pi_{n}πn表示隐含状态序列中第1个状态为qnq_{n}qn的概率，即：πn=P(i1=qn)\pi_{n}=P(i_{1}=q_{n})πn=P(i1=qn)
状态转移概率矩阵AAA本质上就是马尔科夫链的转移概率矩阵，AAA是一个N×NN\times NN×N的方阵：

其中，aija_{ij}aij表示从隐含状态iii转移到隐含状态jjj的概率，即aij=P(it+1=qj∣it=qi)a_{ij}=P(i_{t+1}=q_{j}|i_{t}=q_{i})aij=P(it+1=qj∣it=qi)；

观测概率矩阵BBB是一个N×MN\times MN×M的矩阵：

其中，bijb_{ij}bij指的是在某时刻ttt，隐含状态为qiq_{i}qi的情况下，生成观测vjv_{j}vj的概率，即bij=P(o1=vj∣it=qi)b_{ij}=P(o_{1}=v_{j}|i_{t}=q_{i})bij=P(o1=vj∣it=qi)

模型的性质

ttt时刻的隐状态只与前一时刻的隐状态相关：

在隐马尔科夫模型的三要素中，状态转移概率矩阵AAA和初始状态概率向量π\piπ完全确定了隐藏的马尔科夫链，其性质服从马尔科夫性，可以描述为：P(it∣it−1,ot−1,it−2,ot−2,...,i1,o1)=P(it∣it−1)P(i_{t}|i_{t-1},o_{t-1},i_{t-2},o_{t-2},...,i_{1},o_{1})=P(i_{t}|i_{t-1})P(it∣it−1,ot−1,it−2,ot−2,...,i1,o1)=P(it∣it−1)
ttt时刻的观测只与该时刻的隐状态相关：

该性质描述为：P(ot∣it,it−1,ot−1,it−2,ot−2,...,i1,o1)=P(ot∣it)P(o_{t}|i_{t},i_{t-1},o_{t-1},i_{t-2},o_{t-2},...,i_{1},o_{1})=P(o_{t}|i_{t})P(ot∣it,it−1,ot−1,it−2,ot−2,...,i1,o1)=P(ot∣it)

推理问题：HMM的状态解码

隐状态解码问题

前面描述了HMM的概率估计，现在讨论HMM的状态解码。解码，即给定已知的观测序列，求它最有可能对应的状态序列。

即已知模型λ=(A,B,π)\lambda=(A,B,\pi)λ=(A,B,π)，观测序列O=(o1,o2,...,oT)O=(o_{1},o_{2},...,o_{T})O=(o1,o2,...,oT)，求使得条件概率P(I∣O)P(I|O)P(I∣O)最大的隐状态序列I=(i1,i2,...,iT)I=(i_{1},i_{2},...,i_{T})I=(i1,i2,...,iT)；

先不考虑输出的观测，只考虑隐状态的转移，目标是找到路径概率最大的一条状态序列。对照下图，图中展现了HMM的状态序列，其中一共包含5种隐状态，状态的序列长度为7，图中横轴是时间轴，纵轴是状态轴：

最大路径概率与维特比算法

从整个隐状态序列的最后面向前看，在第7个时间点，即最后一个时间点，要考虑状态序列的最后一个状态是状态[1,2,3,4,5][1,2,3,4,5][1,2,3,4,5]中的哪一个，即路径以哪个结束可以获得最大概率。

首先关注最后一个时间点（时间点7），问题变成如果状态转移的路径以结束于状态kkk的路径概率最大，概率该如何表示？而时间点6也可以取5种状态的任一种，最终取决于从哪个状态转移到时间点7的状态kkk有最大概率。如下所示：

我们令X6iX_{6i}X6i表示到达时间点6时，此时状态为iii的最大路径概率，状态iii可以取{1,2,3,4,5}\left\{1,2,3,4,5\right\}{1,2,3,4,5}中的任意一个，那么实际上就有X61,X62,X63,X64,X65X_{61},X_{62},X_{63},X_{64},X_{65}X61,X62,X63,X64,X65五个不同的值。在上图中，对应了虚线框内五种颜色示意的到达时间节点6的五条路径，他们分别是在时间节点6时到达对应状态iii的最大概率路径。

那么用它乘以对应的状态转移概率，即X6iAikX_{6i}A_{ik}X6iAik，就推进到第7个时间节点。首先固定第7个时间节点结束的状态，比如选择状态1，则可以分别求出从第6个时间节点的状态1，状态2，状态3，状态4，状态5转移到时间点7状态1的概率：X61A11,X62A21,X63A31,X64A41,X65A51X_{61}A_{11},X_{62}A_{21},X_{63}A_{31},X_{64}A_{41},X_{65}A_{51}X61A11,X62A21,X63A31,X64A41,X65A51
我们计算出这5个值，取最大值为结束于状态1的最大路径概率。

同理，我们分别假设，令时间点7的结束状态为2,3,4,5，按照上述步骤，取每个结束状态的最大概率路径。然后在这些结束状态的最大路径中选最大的一个，作为最后真正的最大路径。

对于X6iX_{6i}X6i，它依赖于时间点5的X5jX_{5j}X5j，一直追溯到最早的时间点1为尽头。因此，现在从时间点1出发，描述以上过程：

首先在时间点1，我们计算出各种状态出现的概率，由于只有一个节点，因此这个概率值就是此时的最大路径概率X1iX_{1i}X1i；
然后我们再向前前进到时间点2，对于每一个状态jjj，我们通过利用时间点1的每一个状态的最大路径乘以转移概率，得到5个到达时间点2，状态jjj的路径概率，取最大的一个作为此时的最大路径概率X2jX_{2j}X2j，即：X2j=max(X1iAij)X_{2j}=max(X_{1i}A_{ij})X2j=max(X1iAij)其中，iii遍历1,2,3,4,5每一个状态。同时，我们把最大路径的序列记录下来。
以此类推，我们基于时间点ttt中，各状态的最大路径概率，就可以前向计算出t+1t+1t+1中各状态的最大路径概率，直到最后一个时间节点TTT，我们得到时间节点TTT的所有状态的最大概率路径XTiX_{Ti}XTi，取最大值：max(XTi)max(X_{Ti})max(XTi)其中，iii遍历1,2,3,4,5每一个状态。这就是我们要求的最大路径概率，以及结束的状态，然后依据记录的路径得到目标的隐状态序列。

以上即为求最大概率路径的方法，即维特比算法（用于计算最大或最小路径的动态规划算法）。

使用维特比算法解码

下面，我们将维特比算法用于HMM的解码，维特比算法中最大概率路径对应着HMM要求的状态序列，不过现在不光要考虑隐状态的转移概率，还有观测输出概率。

即要寻找一条隐状态(i1,i2,...,it)(i_{1},i_{2},...,i_{t})(i1,i2,...,it)，用它生成指定的观测序列(o1,o2,...,ot)(o_{1},o_{2},...,o_{t})(o1,o2,...,ot)，使得观测序列的存在概率最大。描述为：δt(i)=maxP(it=i,it−1,...,i1,ot,...,o1)\delta_{t}(i)=maxP(i_{t}=i,i_{t-1},...,i_{1},o_{t},...,o_{1})δt(i)=maxP(it=i,it−1,...,i1,ot,...,o1)其中，i=1,2,3,...,Ni=1,2,3,...,Ni=1,2,3,...,N，表示在时刻ttt，结束于隐状态iii，同时满足观测序列(o1,o2,...,ot)(o_{1},o_{2},...,o_{t})(o1,o2,...,ot)的最大路径概率，这个表达式同时考虑了隐状态和输出观测，是一个联合概率，其中iii取1,2,3,...,N1,2,3,...,N1,2,3,...,N，最终我们取最大的PPP。

以此类推：δt+1(i)=maxP(it+1=i,it,...,i1,ot+1,...,o1)\delta_{t+1}(i)=maxP(i_{t+1}=i,i_{t},...,i_{1},o_{t+1},...,o_{1})δt+1(i)=maxP(it+1=i,it,...,i1,ot+1,...,o1)其中，i=1,2,3,...,Ni=1,2,3,...,Ni=1,2,3,...,N；

对于δt+1(i)\delta_{t+1}(i)δt+1(i)和δt(i)\delta_{t}(i)δt(i)的递推关系，我们根据HMM进行状态转移，再进行观测输出，所以有：δt+1(i)=max(δt(j)ajibiot+1)\delta_{t+1}(i)=max(\delta_{t}(j)a_{ji}b_{io_{t+1}})δt+1(i)=max(δt(j)ajibiot+1)证明如下：max(δt(j)ajibiot+1)=max(δt(j)aji)biot+1max(\delta_{t}(j)a_{ji}b_{io_{t+1}})=max(\delta_{t}(j)a_{ji})b_{io_{t+1}}max(δt(j)ajibiot+1)=max(δt(j)aji)biot+1=max[(maxP(it=j,it−1,...,i1,ot,...,o1))P(it+1=i∣it=j)P(ot+1∣it+1=i)]=max[(maxP(i_{t}=j,i_{t-1},...,i_{1},o_{t},...,o_{1}))P(i_{t+1}=i|i_{t}=j)P(o_{t+1}|i_{t+1}=i)]=max[(maxP(it=j,it−1,...,i1,ot,...,o1))P(it+1=i∣it=j)P(ot+1∣it+1=i)]=max[P(it+1=i,it=j,it−1,...,i1,ot,...,o1)]P(ot+1∣it+1=i)=max[P(i_{t+1}=i,i_{t}=j,i_{t-1},...,i_{1},o_{t},...,o_{1})]P(o_{t+1}|i_{t+1}=i)=max[P(it+1=i,it=j,it−1,...,i1,ot,...,o1)]P(ot+1∣it+1=i)=max[P(it+1=i,it,it−1,...,i1,ot+1,ot,...,o1))]=δt+1(i)=max[P(i_{t+1}=i,i_{t},i_{t-1},...,i_{1},o_{t+1},o_{t},...,o_{1}))]=\delta_{t+1}(i)=max[P(it+1=i,it,it−1,...,i1,ot+1,ot,...,o1))]=δt+1(i)
现在回顾递推公式：δt+1(i)=max(δt(j)ajibiot+1)\delta_{t+1}(i)=max(\delta_{t}(j)a_{ji}b_{io_{t+1}})δt+1(i)=max(δt(j)ajibiot+1)，与上一部分维特比算法求路径概率的例子相比，多了一个观测输出概率biot+1b_{io_{t+1}}biot+1，这个值是已知的，只是比单纯的路径概率多进行了一次观测输出概率的乘积运算。

按照维特比算法从δ1(i)\delta_{1}(i)δ1(i)起步，一步一步按照上述方法推导到δT(i)\delta_{T}(i)δT(i)，求得最大的概率，同时在递推过程中记录序列。

实例演示

现在用盒子摸球模型演示计算过程，隐状态集合为Q=Q=Q={盒子1，盒子2，盒子3}，N=3N=3N=3，初始概率π=(0.3,0.5,0.2)T\pi=(0.3,0.5,0.2)^{T}π=(0.3,0.5,0.2)T，状态概率矩阵为AAA：

观测集合V=V=V={黑球，白球}，M=2M=2M=2，观测概率矩阵为BBB：

并且，已知观测序列为 {黑球，白球，黑球}；

首先，在初始化时，对于在t=1t=1t=1时刻，隐状态为iii，观测o1o_{1}o1为黑球的概率δ1(i)\delta_{1}(i)δ1(i)，有：δ1(1)=π1b1o1=0.3×0.2=0.06\delta_{1}(1)=\pi_{1}b_{1o_{1}}=0.3\times 0.2=0.06δ1(1)=π1b1o1=0.3×0.2=0.06δ1(2)=π2b2o1=0.5×0.6=0.30\delta_{1}(2)=\pi_{2}b_{2o_{1}}=0.5\times 0.6=0.30δ1(2)=π2b2o1=0.5×0.6=0.30δ1(3)=π3b3o1=0.2×0.4=0.08\delta_{1}(3)=\pi_{3}b_{3o_{1}}=0.2\times 0.4=0.08δ1(3)=π3b3o1=0.2×0.4=0.08递推到t=2t=2t=2时，表示在t=1t=1t=1时隐状态为jjj号盒子，输出观测o1o_{1}o1为黑球，t=2t=2t=2时隐状态为iii号盒子，输出观测o2o_{2}o2为白球的最大概率为：
δ2(i)=max[δ1(j)aji]bio2\delta_{2}(i)=max[\delta_{1}(j)a_{ji}]b_{io_{2}}δ2(i)=max[δ1(j)aji]bio2

所以有：

δ2(1)=max[δ1(j)aj1]b1o2=max[δ1(1)a11,δ1(2)a21,δ1(3)a31]b1o2\delta_{2}(1)=max[\delta_{1}(j)a_{j1}]b_{1o_{2}}=max[\delta_{1}(1)a_{11},\delta_{1}(2)a_{21},\delta_{1}(3)a_{31}]b_{1o_{2}}δ2(1)=max[δ1(j)aj1]b1o2=max[δ1(1)a11,δ1(2)a21,δ1(3)a31]b1o2
=max[0.06×0.4,0.3×0.3,0.08×0.2]0.8=max[0.024,0.09,0.016]0.8=0.072=max[0.06\times 0.4,0.3\times 0.3,0.08\times 0.2]0.8=max[0.024,0.09,0.016]0.8=0.072=max[0.06×0.4,0.3×0.3,0.08×0.2]0.8=max[0.024,0.09,0.016]0.8=0.072

同时记录t=1t=1t=1时，j=2j=2j=2；

δ2(2)=max[δ1(j)aj2]b2o2=max[δ1(1)a12,δ1(2)a22,δ1(3)a32]b2o2\delta_{2}(2)=max[\delta_{1}(j)a_{j2}]b_{2o_{2}}=max[\delta_{1}(1)a_{12},\delta_{1}(2)a_{22},\delta_{1}(3)a_{32}]b_{2o_{2}}δ2(2)=max[δ1(j)aj2]b2o2=max[δ1(1)a12,δ1(2)a22,δ1(3)a32]b2o2
=max[0.024,0.06,0.048]0.4=0.024=max[0.024,0.06,0.048]0.4=0.024=max[0.024,0.06,0.048]0.4=0.024

其中b2o2=0.4b_{2o_{2}}=0.4b2o2=0.4，同时记录t=1t=1t=1时，j=2j=2j=2；

δ2(3)=max[δ1(j)aj3]b3o2=max[δ1(1)a13,δ1(2)a23,δ1(3)a33]b3o2\delta_{2}(3)=max[\delta_{1}(j)a_{j3}]b_{3o_{2}}=max[\delta_{1}(1)a_{13},\delta_{1}(2)a_{23},\delta_{1}(3)a_{33}]b_{3o_{2}}δ2(3)=max[δ1(j)aj3]b3o2=max[δ1(1)a13,δ1(2)a23,δ1(3)a33]b3o2
=max[0.012,0.15,0.016]0.6=0.09=max[0.012,0.15,0.016]0.6=0.09=max[0.012,0.15,0.016]0.6=0.09

其中b3o2=0.6b_{3o_{2}}=0.6b3o2=0.6，同时记录t=1t=1t=1时，j=2j=2j=2；

我们把上述过程的结果可视化：

现在递推到t=3t=3t=3：

结果可视化为：

现在，我们从最后一个时间节点3开始，选择状态2，它的路径概率最大；

通过追溯，得到状态序列为：{盒子2，盒子3，盒子2}

基于Python对盒子摸球实验进行状态解码

下面基于Python实现了上述过程的手工计算，HMM使用hmmlearn实现，相关文档为：hmmlearn，其提供了三种模型：

名称	简介	观测类型
`hmm.GaussianHMM`	观测服从高斯分布的HMM	连续
`hmm.GMMHMM`	观测服从混合高斯分布的HMM	连续
`hmm.MultinomialHMM`	观测为离散型的HMM	离散

隐马尔科夫模型，要求隐变量为离散型随机变量，观测变量可以是离散型的也可以是连续型的

程序如下：

import numpy as np
from hmmlearn import hmm# 隐状态集合Q
states = ['box1', 'box2', 'box3']
# 观测集合V
observations = ['black', 'white']
# 初始概率pi
start_probability = np.array([0.3, 0.5, 0.2])
# 状态转移矩阵A
transition_probability = np.array([[0.4, 0.4, 0.2],[0.3, 0.2, 0.5],[0.2, 0.6, 0.2]
])# 观测概率矩阵B
emission_probability = np.array([[0.2, 0.8],[0.6, 0.4],[0.4, 0.6]
])# 选用MultinomialHMM对离散观测状态建模
model = hmm.MultinomialHMM(n_components=len(states))
model.startprob_ = start_probability
model.transmat_ = transition_probability
model.emissionprob_ = emission_probability# 观测序列
obervation_list = np.array([0, 1, 0])
# 调用维特比算法对观测序列进行隐含状态解码
logprob, box_list = model.decode(obervation_list.reshape(-1, 1), algorithm='viterbi')# 对数最大路径概率
print(logprob)# 输出解码的隐含状态序列
print(box_list)
for i in range(len(obervation_list)):print(states[box_list[i]])

输出为：

-3.429596856183853
[1 2 1]
box2
box3
box2

可见，程序计算的结果与手工计算结果一致；

对于HMM的学习问题，HMM属于无监督学习，我们需要先设置HMM的隐状态数，再根据观测序列，由EM算法迭代更新模型参数λ=(π,A,B)\lambda=(\pi,A,B)λ=(π,A,B)

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