树链剖分（轻重链剖分）讲解（模板题目 P3384 【模板】轻重链剖分）

P3384 【模板】轻重链剖分

首先先说一下基本概念：
1.重儿子：一个结点的所有儿子中，大小最大的那个（最重的，所以说只有一个，如果有多个儿子的大小相等那就随便取一个）。
2.轻儿子：一个结点的儿子除了重儿子以外的所有儿子都是轻儿子。（根节点为轻儿子）
3.重链：从一个轻儿子开始，一路往重儿子走，连出来的链叫重链。
4.轻链：除了重链全是轻链。

如下图：
重链即为标染色点连出的边。
dfs序即为即为图中红色标号。

那么我们如何处理出这个dfs序呢？
通过两个dfs.

第一个dfs需要：
1.标记结点的父亲
2.标记结点的重儿子
3.标记结点的深度
4.结点的大小
第二个dfs需要：
为什么要第二遍才可以（因为需要第一遍跑出来的重儿子）
1.标记重链的开始结点。
2.结点权值的dfs序与时间戳。

如下图有两条重链：
第一条重链为FHKL 他们的开始结点都为F
第二条重链为CD 他们的开始结点都为C
这个标记有什么用处，到后面就明白了。

我们再来看这个例题：

P3384 【模板】轻重链剖分

对于操作一和操作二，我们可以知道，树上点与点之间的路径是唯一的（不重复走的情况下）。
所以我们可以得知：

引理：除根节点外的任何一个结点的父亲结点都一定在一条重链上。
证明：因为父亲结点存在儿子，所以一定存在重儿子，所以一定在一条重链上。
所以：
对于x-y之间的路径：是由重链的一部分和叶子节点组成的。
那么我们对于不同的路径情况分类讨论一下即可。
1.假设x、y在一条重链上，那么情况就变得简单了（因为重链上的序号是连续的）。
我们直接把x和y对应的dfs序拿出来在线段树上操作一下即可。
那么问题是如何判断x、y是否在一条重链上呢？
标记重链的开始结点。 这一个操作用上了，只要查询他们两个值的开始结点相同，那么即为同一重链。
2.如果不在一条重链上呢？
那么我们可以维护两个指针分别指向两个结点。
不停的让所在链的顶部结点深度较深那个指针沿着重链往上跳（直接跳到重链开始结点），顺便在线段树上维护操作（因为重链上的结点是连续的）。
到达顶部结点后，我们让他跳到顶部结点的父亲结点。然后继续循环如上操作，直到两指针相遇（或者到了同一条重链上）。

代码：

/*Keep on going Never give up*/
//#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
//#define int long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
int mod=998244353;struct node{int to,next;
}edge[maxn];int tot,head[maxn];void init(){memset(head,-1,sizeof head);
}void adde(int u,int v){edge[tot].to=v,edge[tot].next=head[u];head[u]=tot++;edge[tot].to=u,edge[tot].next=head[v];head[v]=tot++;
}
int v[maxn];
int fa[maxn],dep[maxn],siz[maxn],son[maxn];void dfs1(int u,int f){fa[u]=f;  //标记父亲dep[u]=dep[f]+1;  //标记深度siz[u]=1; //初始化大小for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){int v=edge[i].to;if(v==f) continue;dfs1(v,u);siz[u]+=siz[v];  //累加大小if(siz[v]>siz[son[u]]){  //找重儿子son[u]=v;}}
}
int cnt,dfn[maxn],top[maxn],w[maxn];
void dfs2(int u,int t){dfn[u]=++cnt;top[u]=t;w[cnt]=v[u];  //重新把结点的值转移到连续序列上if(!son[u]) return ;dfs2(son[u],t);  //有限递归重儿子for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){int v=edge[i].to;if(v==fa[u]||v==son[u]) continue ;dfs2(v,v);  //头节点为当前结点开始递归}
}
int tree[maxn],lazy[maxn];
void push_down(int node,int l,int r){lazy[node*2]+=lazy[node];lazy[node*2+1]+=lazy[node];int mid=(l+r)/2;tree[node*2]+=(mid-l+1)*lazy[node]%mod;tree[node*2+1]+=(r-mid)*lazy[node]%mod;lazy[node]=0;
}
void build(int node,int start,int ends){if(start==ends){tree[node]=w[start]%mod;return ;}int mid=(start+ends)/2;build(node*2,start,mid);build(node*2+1,mid+1,ends);tree[node]=(tree[node*2]+tree[node*2+1])%mod;
}void update(int node,int start,int ends,int l,int r,int val){if(start>=l&&ends<=r){lazy[node]+=val;tree[node]+=(ends-start+1)*val%mod;return ;}if(lazy[node]) push_down(node,start,ends);int mid=(start+ends)/2;if(l<=mid) update(node*2,start,mid,l,r,val);if(mid<r) update(node*2+1,mid+1,ends,l,r,val);tree[node]=(tree[node*2]+tree[node*2+1])%mod;
}int query(int node,int start,int ends,int l,int r){if(start>=l&&ends<=r){return tree[node]%mod;}if(lazy[node]) push_down(node,start,ends);int mid=(start+ends)/2;int res=0;if(l<=mid) res+=query(node*2,start,mid,l,r);if(mid<r) res+=query(node*2+1,mid+1,ends,l,r);return res%mod;
}
int n,m,r;
void mchain(int x,int y,int z){z%=mod;while(top[x]!=top[y]){if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);update(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x],z);x=fa[top[x]];}if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);update(1,1,n,dfn[x],dfn[y],z);
}int qchain(int x,int y){int ret=0;while(top[x]!=top[y]){if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);ret+=query(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]);x=fa[top[x]];}if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);ret+=query(1,1,n,dfn[x],dfn[y]);return ret%mod;
}
signed main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);init();cin>>n>>m>>r>>mod;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i];for(int i=0;i<n-1;i++){int x,y;cin>>x>>y;adde(x,y);}dfs1(r,r);dfs2(r,r);build(1,1,n);for(int i=0;i<m;i++){int opt;cin>>opt;if(opt==1){int x,y,z;cin>>x>>y>>z;mchain(x,y,z);}else if(opt==2){int x,y;cin>>x>>y;cout<<qchain(x,y)<<endl;}else if(opt==3){int x,y;cin>>x>>y;update(1,1,n,dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1,y);}else{int x;cin>>x;cout<<query(1,1,n,dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1)<<endl;}}
}

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