【 MATLAB 】使用 MATLAB 实现模拟信号的近似及其连续傅里叶变换

严格来说，利用MATLAB是不可能用来分析模拟信号的。然而，如果有足够小的时间增量在足够细的栅格上对 $x_a(t)$ 采样而产生一种平滑的图，并有足够大的时间来展示所有的模式，那么就能对模拟信号作近似分析。令 $\Delta t$ 是栅格间隔并且有 $\Delta \ll T_s$ ，那么

$x_G(m)=x_a(m\Delta t)$

就能用作一个数组对一个模拟信号进行仿真。不应该将采样间隔Ts与栅格间隔 $\Delta t$ 混淆， $\Delta t$ 是严格用来在MATLAB中表示一个模拟信号的。类似的，连续时间傅里叶变换（CTFT）：

$X_a(j\Omega )=\int_{- \infty}^{+ \infty}x_a(t)e^{-j\Omega t} dt$

也可以是近似的，如下所示：

$X_a(j \Omega)\approx \sum_{m}x_G(m)e^{-j \Omega \Delta t} \Delta t = \Delta t sum_{m}x_G(m)e^{-j\Omega m \Delta t}$

现在，如果 $x_a(t)$ 为有限长，那么上式：

$X_a(j \Omega)\approx \sum_{m}x_G(m)e^{-j \Omega \Delta t} \Delta t = \Delta t sum_{m}x_G(m)e^{-j\Omega m \Delta t}$

就类似于离散时间傅里叶变换关系，离散时间傅里叶关系，之前有博文对此总结：【 MATLAB 】用 MATLAB 实现离散时间傅里叶变换（DTFT）的两个案例分析

这篇博文中的第二个案例。

k = [0:M];
n = [n1:n2];
X = x * (exp(-j * pi/M)).^(n'*k);

下面给出一个案例：

设 $x_a(t) = e^{-1000\left |t \right |}$

使用MATLAB求出并画出它的傅里叶变换。

题解：

通过公式计算，可以得出：

$X_a(j \Omega) = \frac{0.002}{1+(\frac{\Omega}{1000})^2}$ (1)

这里，估计出栅格间隔以及信号的带宽最为重要。

为了对 $X_a(j \Omega)$ 作数值计算，必须首先用一个有限长的栅格序列 $x_G(m)$ 近似 $x_a(t)$ .

利用近似式 $e^{-5}\approx 0$ ,可以注意到 $x_a(t)$ 可以近似为在[-0.005,0.005]（或等效为在[-5,5]毫秒上）的有限长信号。同样，根据（1）式， $X_a(j\Omega)\approx 0, \Omega \geq 2\pi (2000)$ ,这意味着信号的带宽为2000Hz，所以选栅格间隔

$\Delta t = 5 \times 10 ^{-5} \ll \frac{1}{2(2000)}= 25 \times 10^{-5}$

这里解释下，上面的1/2（2000）代表的是采样间隔，栅格间隔要远小于采样间隔。

这样，我们就可以给出MATLAB脚本了：

clc
clear
close all% Analog signal
Dt = 0.00005;
t = - 0.005:Dt:0.005;
xa = exp(-1000 * abs(t));% Continuous_time Fourier Transform
Wmax = 2*pi*2000;
K = 500;
k = 0:1:K;
W = k*Wmax/K;
Xa = xa * exp(-j * t' * W)*Dt;
Xa = real(Xa);
W = [-fliplr(W),W(2:501)];
Xa = [fliplr(Xa),Xa(2:501)];subplot(2,1,1)
plot(t*1000,xa);
xlabel('t in msec');ylabel('xa(t)');
title('Analog signal');subplot(2,1,2)
plot(W/(2*pi*1000),Xa*1000);
xlabel('frequency in KHz');ylabel('Xa(jW)*1000');
title('Continuous-time Fourier Transform');

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