深入理解网络最大流和Ford-Fulkson算法

第一部分：最大不相交路径数

设有如下图G：

请问：

使用观察法可以得知，最多是2条。

但是目前是这样的，要你使用计算机编一个算法来求解这个问题，你会吗？我猜你不会哈哈。所以我下面提供一种思路，就是每一次找一条s-t路径，然后删去这条路径上的边，在剩下的图继续找。

但是，这个算法有缺点：如果第一次找了一条下面的s-t路径

那么删除之后就只剩下了红色的边：

这个时候，找不到s-t路径了，所以算法就得出结论：最多只有1条不相交的s-t路径，这是错误的。所以我们要改进这个算法！
改进的思路是：纠正以前走错了的路径。比如对于上面，我们的做法是，将已走的所有路径方向反向

然后再寻找一条路径

我们把第一条路径和现在这条路径取并集，就有了：

把那个相互抵消的删除，就得到了两条路径：

放回到原图中，就是：

我们发现：第一次找的路径和第二次路径都被纠正了。
接下来：我们继续，将纠正后的路径反向。

这个时候已经无法找到s-t路径，算法停止。宣布最多有2条不相关的路径。

后续会证明这个算法是不是能够找到最大不相交路径数。

第二部分：最大流最小割定理

引入割的概念，其实并不是必要的，只是大家平常在别的资料会看到，所以把这个概念说一下。

我们继续分析第一部分中最后的那一幅图，这个时候已经找到了最大不相交路径了。我们从源点s开始，使用深度优先搜索或者广度优先搜索，发现只能搜索到s这个顶点，我们令大S={s}，T=V-S。即顶点被划分成两个集合：

这个顶点的S-T划分产生了一个S-T割，大小为0，因为S没有到T的边。但是，S-T割在原图（没有反向的时候）中其实是T-S割（割是有方向的），其大小为2，T-S割等于{(a,s),(d,s)}，原图中是S-T割{(s,a),(s,d)}。

说割这个概念有什么用？

上述T-S割的大小2就是最小割，即原图中没有更小的割了。举个栗子，我们令S={s,b},T={a,d,c,t}(注意一下，割要求s在S中，t在T中）。这个时候S-T割={(s,a),(s,d),(b,c),(b,t)}，这个割大小为4，比2大。

最大流最小割定理：求最多有多少条不相交的路径（最大流），其实就是求最小割！上面两者都是等于2。因为按照割的定义，对于任意一个S-T割，集合S包含源点，T中包含汇点（终点），所以一条路一定要从S中出来到T。而找割中最小的，可以保证最多有多少条不相交的路径。

试想，如果最小割是2，现在有一个割是3，说明这个割大小为3的割有一条边是用不上的，而最小割2需要满载，全部用上。

形式化地有：

最多不相交的路径条数设为k，假设我们找到一个割，大小为m，则k≤mk\le mk≤m。设最小割为mminm_{min}mmin，从而也有：k≤mmink\le m_{min}k≤mmin
另一方面，我们不妨分割为S={s},T=V-S,由于最多不相交的路径条数为k，从而那么s肯定至少有k条出边，即这个S-T割的大小m′≥k≥mminm'\ge k\ge m_{min}m′≥k≥mmin。为什么？
由k≤mmink\le m_{min}k≤mmin和k≥mmink\ge m_{min}k≥mmin得到k=mmink=m_{min}k=mmin。

稍微补充一下为什么上述可以看成是最大流问题？因为上述图可以看成是每条边容量为1的网络，那么最多有多少条不相交的路就是最大流的意思。

最大流问题

有了上述铺垫，这里变得异常简单，我们将上述容量为1推广至任意整数如下：

我们还是可以使用之前的做法，把里面的容量，直接拆分为1的组合。比如弧(s,a)的容量为20，那么我们就在顶点s和顶点a之间连20条边，然后转化成求最大不相交路径数。

两个名词：残留网络，增广路径

到这里，其实怎么求解最大流问题已经说完了，只剩下一些名词给大家再说一下，这也是其他文章中经常出现的，但是，现在再看其实很简单。

残留网络：在原网络上，将之前已经找到的路径上的弧反向，其他弧方向保持不变，就得到了残留网络。比如前面的：

（网络最大流问题的）增广路径：在残留网络中找一条由s通往t的路径，找到的这条路径就叫做增广路径。

知识小补充：增广路径这个词的具体意义在图的不同问题是不同的。

Ford-Fulkson算法：这个算法是由两个人Ford和Fulkson一起完成的。这个算法就是上述我们的:找一条路，反向，找一条路，直到找不到。或者另外一种说法：找增广路径，构造残留网络，找增广路径，直到找不到

续：Ford-Fulkson算法的正确性

大家应该能够体会到上面过程的正确性，但是仅仅是体会，我们却并没有给予证明。比如

为什么：将之前路径反向后，如果找到一条新的路，那么一定说明又多了一条不相交的路。
为什么：将之前路径反向后，如果找不到路径了，那么一定说明不相交路径的数量已经达到了最大。

(2) 的证明已经在第一部分结尾和第二部分给出，这里仅做部分叙述，这里和前面同时都要去看。找不到路径的时候，反向，对源点进行遍历，把能够遍历到的顶点集合设为S,剩下的顶点集合设为T，那么T-S割的大小对应着原图的最小割。根据最大流最小割定理，此时是最大流（不相交路径的数量已经达到了最大）。

(1) 的证明：
假设我们已经找到了P1,P2,P3三条路径，那么反向后应该得到如下图：

有人问，起点和终点不是只有1个吗？上面怎么3个。确实就是1个，所以我用了一个虚线的框，框起来。我这样画纯粹是为了好看，等下你就知道。如果你强迫症也可以下面这样，无所谓的：

言归正传，假设我们对P1,P2,P3反向，其他正向保持不变后，找到了一条路径P4，例如下面的蓝色路径。P4踩了反向的弧（深蓝），也经过了以前从来没有被用过的正向的弧（浅蓝）。

我们下面要证明：在原图中，一定有了4条不相交的路径。

和前面第一部分的纠正过程一样，我们将下面红色的一小段路删除。

再重新组合，得到原图中的如下四条路径。完美，完结。