【网络流】解题报告：luogu P3376 【模板】网络最大流

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Dinic

Dinic算法是网络流最大流的优化算法之一，每一步对原图进行分层，然后用DFS求增广路。时间复杂度是O(n^2*m)，Dinic算法最多被分为n个阶段，每个阶段包括建层次网络和寻找增广路两部分。
Dinic算法的思想是分阶段地在层次网络中增广。它与最短增广路算法不同之处是：最短增广路每个阶段执行完一次BFS增广后，要重新启动BFS从源点Vs开始寻找另一条增广路;而在Dinic算法中，只需一次DFS过程就可以实现多次增广。

层次图：

层次图，就是把原图中的点按照点到源的距离分“层”，只保留不同层之间的边的图。

算法流程：

1、根据残量网络计算层次图。
2、在层次图中使用DFS进行增广直到不存在增广路。
3、重复以上步骤直到无法增广。

实现

首先对每条弧存一条反向弧，初始流量为0，当正向弧剩余流量减少时，反向弧剩余流量随之增加，这样就为每条弧提供了一个反悔的机会，可以让一个流沿反向弧退回而去寻找更优的路线。对于一个网络流图，用bfs将图分层，只保留每个点到下一个层次的弧，目的是减少寻找增广路的代价。对于每一次可行的增广操作，用dfs的方法寻找一条由源点到汇点的路径并获得这条路径的流量c。根据这条路径修改整个图,将所经之处正向边流量减少c，反向边流量增加c。如此反复直到bfs找不到可行的增广路线。

当前弧优化：

对于一个节点x，当它在dfs中走到了第i条弧时，前i-1条弧到汇点的流一定已经被流满而没有可行的路线了。那么当下一次再访问x节点的时候，前i-1条弧就可以被删掉而没有任何意义了。所以我们可以在每次枚举节点x所连的弧时，改变枚举的起点，这样就可以删除起点以前的所有弧以达到优化的效果。

本题增强了数据，时间更是卡到了500ms，以前的好多题解都过不去了。
有一个问题是我使用弧优化最后两个点跑了750ms T 了，但是我把弧优化去掉了以后只跑了60ms，成功AC，真是很玄学。

我知道哪里的问题了，蓝书《算法竞赛进阶指南》上的弧优化好像有点问题，now[x] = i好像应该放到for循环里面，我参照的洛谷日报上的写法，跑了最后一个点只13ms。（哪位大佬能不能告诉我为什么）

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<math.h>
#include<cstring>
#include<queue>
//#define ls (p<<1)
//#define rs (p<<1|1)
#define over(i,s,t) for(register int i = s;i <= t;++i)
#define lver(i,t,s) for(register int i = t;i >= s;--i)
//#define int __int128
//#define lowbit(p) p&(-p)
using namespace std;typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
const ll INF = 1e18;
const int N = 5e2+7;
const int M = 2e5+7;int head[N],nex[M],ver[M],tot = 1;
ll edge[M];
int n,m,s,t;
ll maxflow;
ll deep[N];//层级数，其实应该是level
int now[M];//当前弧优化
queue<int>q;inline void read(int &x){int f=0;x=0;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();x=f?-x:x;
}inline void add(int x,int y,int z){//建正边和反向边ver[++tot] = y;edge[tot] = z;nex[tot] = head[x];head[x] = tot;ver[++tot] = x;edge[tot] = 0;nex[tot] = head[y];head[y] = tot;
}inline bool bfs(){//在残量网络中构造分层图over(i,1,n)deep[i] = INF;while(!q.empty())q.pop();q.push(s);deep[s] = 0;now[s] = head[s];//一些初始化while(!q.empty()){int x = q.front();q.pop();for(int i = head[x];i;i = nex[i]){int y = ver[i];if(edge[i] > 0 && deep[y] == INF){//没走过且剩余容量大于0q.push(y);now[y] = head[y];//先初始化，暂时都一样deep[y] = deep[x] + 1;if(y == t)return 1;//找到了}}}return 0;
}//flow是整条增广路对最大流的贡献，rest是当前最小剩余容量，用rest去更新flow
ll dfs(int x,ll flow){//在当前分层图上增广if(x == t)return flow;ll ans = 0,k,i;for(i = now[x];i && flow;i = nex[i]){now[x] = i;//当前弧优化（避免重复遍历从x出发的不可拓展的边）int y = ver[i];if(edge[i] > 0 && (deep[y] == deep[x] + 1)){//必须是下一层并且剩余容量大于0k = dfs(y,min(flow,edge[i]));//取最小if(!k)deep[y] = INF;//剪枝，去掉增广完毕的点edge[i] -= k;//回溯时更新edge[i ^ 1] += k;//成对变换ans += k;flow -= k;}//if(!flow)return rest;}return ans;
}void dinic(){while(bfs())maxflow += dfs(s,INF);
}int main()
{read(n);read(m);read(s);read(t);tot = 1;//成对变换over(i,1,m){int x,y,z;read(x);read(y);read(z);add(x,y,z);}dinic();printf("%lld\n",maxflow);return 0;
}