数组中只出现一次的（一个数、两个数、三个数）

关于位运算参考：http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/7354571

关于位操作这里用到的三个要点：

1：用位操作实现求一个数中的最后一个1

int lastbitof1(int number)

{

return number&~(number-1)//数字减去1之后取反，然后与原来的数字做位与运算就求出了数字最后一个1

}

2：用位操作实现求一个数中的第一个1

int firstbitof1(int number)

{

int indexbit=0;

while((num&1)==0&&(indexbit<8*sizeof(int)))

{

number=number>>1;

++indexbit

}

return indexbit;

}

3: 用位操作实现求一个数中有多少个1

把一个数减去1，再和原来的整数做与运算，会吧整数最右边的一个1变成0。那么一个整数中有多少个1，就会做多少次这样的运算。

int numberof1(int number)

{

int count=0;

while(number)

{

++count;

number=(number-1)&number;

}

return count;

}

4 数组中只有一个整数出现了一次，其它整数都是出现了偶数次，求这个只出现了一次的整数

int FindNumAppearOnce(int * data,int length)

{

int number=0;

for(int i=0;i<length-1;i++)

number^=data[i];

return number;

}

题目：一个数组中有三个数字a、b、c只出现一次，其他数字都出现了两次。请找出三个只出现一次的数字。

分析：在博客http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/2541117420071128950682/中我们讨论了如何在一个数组中找出两个只出现一次的数字。在这道题中，如果我们能够找出一个只出现一次的数字，剩下两个只出现一次的数字就很容易找出来了。

如果我们把数组中所有数字都异或起来，那最终的结果（记为x）就是a、b、c三个数字的异或结果（x=a^b^c）。其他出现了两次的数字在异或运算中相互抵消了。

我们可以证明异或的结果x不可能是a、b、c三个互不相同的数字中的任何一个。我们用反证法证明。假设x等于a、b、c中的某一个。比如x等于a，也就是a=a^b^c。因此b^c等于0，即b等于c。这与a、b、c是三个互不相同的三个数相矛盾。

由于x与a、b、c都各不相同，因此x^a、x^b、x^c都不等于0。

我们定义一个函数f(n)，它的结果是保留数字n的二进制表示中的最后一位1，而把其他所有位都变成0。比如十进制6表示成二进制是0110，因此f(6)的结果为2（二进制为0010）。f(x^a)、f(x^b)、f(x^c)的结果均不等于0。

接着我们考虑f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的结果。由于对于非0的n，f(n)的结果的二进制表示中只有一个数位是1，因此f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的结果肯定不为0。这是因为对于任意三个非零的数i、j、k，f(i)^f(j)的结果要么为0，要么结果的二进制结果中有两个1。不管是那种情况，f(i)^f(j)都不可能等于f(k)，因为f(k)不等于0，并且结果的二进制中只有一位是1。

于是f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的结果的二进制中至少有一位是1。假设最后一位是1的位是第m位。那么x^a、x^b、x^c的结果中，有一个或者三个数字的第m位是1。

接下来我们证明x^a、x^b、x^c的三个结果最后一位是1的是第m位不可能都是1。还是用反证法证明。如果x^a、x^b、x^c的第m位都是1，那么a、b、c三个数字的第m位和x的第m位都相反，因此a、b、c三个数字的第m位相同。如果a、b、c三个数字的第m位都是0，x=a^b^c结果的第m位是0。由于x和a两个数字的第m位都是0，x^a结果的第m位应该是0。同理可以证明x^b、x^c第m位都是0。这与我们的假设矛盾。如果a、b、c三个数字的第m位都是1，x=a^b^c结果的第m位是1。由于x和a两个数字的第m位都是1，x^a结果的第m位应该是0。同理可以证明x^b、x^c第m位都是0。这还是与我们的假设矛盾。

因此x^a、x^b、x^c三个数字中，只有一个数字的第m位是1。于是我们找到了能够区分a、b、c三个数字的标准。这三个数字中，只有一个数字满足这个标准，而另外两个数字不满足。一旦这个满足标准数字找出来之后，另外两个数字也就可以找出来了。

这种思路的C++代码如下：

void getThreeUnique(vector<int>& numbers, vector<int>& unique)

{

if(numbers.size() < 3)

return;

int xorResult = 0;

vector<int>::iterator iter = numbers.begin();

for(; iter != numbers.end(); ++iter)

xorResult ^= *iter;

int flags = 0;

for(iter = numbers.begin(); iter != numbers.end(); ++iter)

flags ^= lastBitOf1(xorResult ^ *iter);//这里最终的运算结果是f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)，即三个不同的数与xorresult异或后在三个一同异或的其情况，

flags = lastBitOf1(flags); //而根据上面的证明，假定最后一位是1的位是第m位，那么x^a、x^b、x^c中，位于m位上为1的只可能是有1个，所以根据这个第m位上是否为1 // 可以找到第一个只出现一次的数，之后问题就转化为求数组中两个只出现一次的问题

// get the first unique number

int first = 0;

for(iter = numbers.begin(); iter != numbers.end(); ++iter)

{

if(lastBitOf1(*iter ^ xorResult) == flags)

first ^= *iter;

}

unique.push_back(first);

// move the first unique number to the end of array

for(iter = numbers.begin(); iter != numbers.end(); ++iter)

{

if(*iter == first)

{

swap(*iter, *(numbers.end() - 1));

break;

}

// get the second and third unique numbers 这个就是求数组中只有两个整数出现一次的，求这两个整数的算法

getTwoUnique(numbers.begin(), numbers.end() - 1, unique);

}

int lastBitOf1(int number)

{

return number & ~(number - 1);

}

void getTwoUnique(vector<int>::iterator begin, vector<int>::iterator end, vector<int>& unique)

{

int xorResult = 0;

for(vector<int>::iterator iter = begin; iter != end; ++iter)

xorResult ^= *iter;

int diff = lastBitOf1(xorResult);

int first = 0;

int second = 0;

for(vector<int>::iterator iter = begin; iter != end; ++iter)

{

if(diff & *iter)

first ^= *iter;

else

second ^= *iter;

}

unique.push_back(first);

unique.push_back(second);

}

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