matlab--微积分与微分方程

limit(function):求函数在0时候的极限值

>> limit((x^3+1)/(x^4+2))

ans =

1/2

注意：limit命令属于符号计算领域，因此需要使用syms命令知名使用的时那些符号变量

limit(function,a):计算变量在趋于a时的极限值

inf:正无穷

-inf:负无穷

>> limit((x^3+1)/(x^4+2),4)

ans =

65/258

>> limit((x^3+1)/(x^4+2),inf)

ans =

0

>> limit((x^3+1)/(x^4+2),-inf)

ans =

0

limit(function,x,a,'left'):左极限

limit(function,x,a,'right'):右极限

>> limit((x-3)/abs(x-3),x,3,'left')

ans =

-1

>> limit((x-3)/abs(x-3),x,3,'right')

ans =

1

渐近线：

>> syms x;
>> y=1/(x*(x-1));
>> ezplot(y)
>> g=x*(x-1);
>> s=solve(g)

s =

0
1

>> ezplot(1/g,'--')

>> ezplot(1/g)
>> hold on
>> plot(double(s(1))*[1 1],[-1 2],'--')
>> hold on
plot(double(s(1))*[0 0],[-1 2],'--')
>> hold on
plot(double(s(2))*[1 1],[-1 2],'--')

因为根存储在名为s的变量中，可以通过访问s(1)和s(2)来表达它们，范围s(2)*[1 1]表示绘制的x范围，[-1 2]表示绘制的y范围

diff(function):计算导数，默认计算一阶导数

diff(function,n)：计算n阶导数

>> syms x t;
>> f=x^2;
>> g=sin(10*t);
>> diff(f)

ans =

2*x

>> diff(g)

ans =

10*cos(10*t)

>> diff(f,2)

ans =

2

diff返回计算导数的结果，因此我们可以将结果分配给以后可以使用的另外一个变量。

>> f=x^2;
>> g=diff(f)

g =

2*x

>> h=-g+2*x

h =

0

isequal(f1,f2):检验两个方程是否相等，是返回’1‘，否则返回’0‘

>> f=2*x;
>> g=2;
>> isequal(f,g)

ans =

logical

0

pretty(function):可以使得到的表达式看起来更加漂亮

>> f=x^3-3*x^2+3*x;
>> ezplot(f)
>> g=diff(f)

g =

3*x^2 - 6*x + 3

>> pretty(g)
2
3 x - 6 x + 3

>> s=solve(g)

s =

1
1

subs(function,c):当变量等于c时，函数function得到的值

求函数的极值

>> syms x;
>> f=x^4-2*x^3;
>> ezplot(f)
>> hold on
>> g=diff(f);
>> ezplot(g)
>> s=solve(g)

s =

0
0
3/2

>> h=diff(g)

h =

12*x^2 - 12*x

>> a=subs(h,s(1))

a =

0

>> a=subs(h,s(3))

a =

9

>> plot(double(s(1)),double(subs(f,s(1))),'ro')-------------在(3/2,f(3/2))处放一个小红圈
>> text(0.8,3.2,'local minimum')

dsolve('eqn):求解微分方程--返回具有一组任意常数的符号解

dsolve('eqn','cond1','cond2'):可以设置初始值

当使用dsolve时，导数用D表示

$\frac{\mathrm{df} }{\mathrm{d} x}=-2f+cost$

>> Df=-2*f+cos(t)

${y}''+2{y}'=5sin7y$

>> D2y+2Dy=5*sin(7*y)

diff(f,t):函数f对t求一阶导

>> syms y(t) a;
>> eqn=diff(y,t)==a*y;
>> s=dsolve(eqn)

s =

C1*exp(a*t)

假设我们要得到C1和a的不同值方程，可以通过subs来赋值

>> C1=2;a=4;
>> f=subs(s)

f =

2*exp(4*t)

初始条件输入

>> syms y(t) t;
eqn=diff(y,t)==(t/(t-5))*y;
>> cond=[y(0)==2];
>> s=dsolve(eqn,cond)

s =

-(2*exp(t + 5*log(t - 5)))/3125

解含有初始条件的二阶微分方程：

>> syms y(t) t;
eqn=diff(y,t,2)-y==0;
>> Dy=diff(y,t);
>> cond=[y(0)==-1,Dy(0)==2];
>> s=dsolve(eqn,cond)

s =

exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2

>> syms y(t) t;
>> eqn=diff(y,t)==t+3;
>> cond=[y(0)==7];
>> s=dsolve(eqn,cond)

s =

(t*(t + 6))/2 + 7

>> ezplot(s,[0 10])

asymptotes:渐近线

>> syms y(t) t;
>> eqn=diff(y,t)==y^2;
>> cond=[y(0)==1];
>> s=dsolve(eqn,cond)

s =

-1/(t - 1)

>> ezplot(s)
>> hold on
>> q=diff(s)

q =

1/(t - 1)^2

>> plot([1 1],[-2 2],'--')-------------绘制渐近线

>> syms f(x) x;
eqn=diff(f,x,2)-((sin(x))/x)*(1-2/x^2)-(2*cos(x))/x^2==0;
Df=diff(f,x);
>> cond=[f(0)==2,Df(0)==0];
>> s=dsolve(eqn,cond)

s =

3 - sin(x)/x

>> ezplot(s,[-50,50])

>> syms y(t) t;
eqn=diff(y,t)==-y/sqrt(1-t^2);
s=dsolve(eqn)

s =

C1*exp(-asin(t))

>> C1=0;
>> s1=subs(s,'C1',0)

s1 =

0

>> ezplot(s1)
>> hold on
>> s2=subs(s,'C1',10)

s2 =

10*exp(-asin(t))

>> ezplot(s2,[-1,1])
>> hold on
>> s3=subs(s,'C1',20)

s3 =

20*exp(-asin(t))

>> ezplot(s3,[-1 1])
>> legend(s1,s2,s3)
错误使用 legend (第 272 行)
参数无效。有关详细信息，请键入 'help legend'。

>> legend('s1','s2','s3')

用for循环来表示三种不同的情况

>> syms y(t) t;
eqn=diff(y,t)==-y/sqrt(1-t^2);
s=dsolve(eqn)

s =

C1*exp(-asin(t))

>> for i=0:10:20
f=subs(s,'C1',i);
ezplot(f,[-1 1])
hold on
end
>> legend('s1','s2','s3')

for i=a:b:c

a是起始值，b是增量，c是最终值

>> syms y(t) t;
eqn=diff(y,t)==-2*t*y^2;
for i=0.2:0.2:2.0
cond=[y(0)==i];
s=dsolve(eqn,cond);
ezplot(s)
hold on
end

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