[AHOI2009]最小割【最小割+Tarjan】

题目链接 P4126 [AHOI2009]最小割

将题目拆解成两个问题，我们分别进行求解。

可以作为最小割的边

如果它可以是最小割中的边的话，首先它需要满足的是流过它的流是满流的，这是因为如果它被割去了，那么一定是满流的，否则一定不会是最小割中的一条边。

再者，虽然它是满流的，但是它可以被替换掉，怎么理解？就是它现在表面上是别割去了，但是实际上图中还有残余网络，可以代替这条被割去的边。

给组合适的样例：

继续，求第一个问题好解，第二个问题，实际上，当这条边正向满流的时候，它的反向边就可以有残余流了，于是这就可以用Tarjan判环的思想，如果u、v在同一个环中，说明可以被残余网络替换掉，这时候就一定不能作为最小割中的边了。

一定是最小割中的边

一定是最小割中的边的话，那么它就是无可替代的了，如果这条边（u到v）是无可替代的话，那么其实可以看作，在最大流跑完之后，源点可以流到u，并且v可以流到汇点。如果源点到不了u或者v到不了汇点，说明此时还有别的可以替代它作为最小割中的边的。

于是解决上述两个问题，这道题就解决了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <bitset>
//#include <unordered_map>
//#include <unordered_set>
#define lowbit(x) ( x&(-x) )
#define pi 3.141592653589793
#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f
#define HalF (l + r)>>1
#define lsn rt<<1
#define rsn rt<<1|1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid+1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define myself rt, l, r
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uit;
typedef long long ll;
const int maxN = 4e3 + 7, maxM = 1.2e5 + 7;
int N, M, head[maxN], cnt;
struct Eddge
{int nex, to, id; ll flow;Eddge(int a=-1, int b=0, ll c=0, int d=0):nex(a), to(b), flow(c), id(d) {}
} edge[maxM];
inline void addEddge(int u, int v, ll f, int id)
{edge[cnt] = Eddge(head[u], v, f, id);head[u] = cnt++;
}
inline void _add(int u, int v, ll f, int id) { addEddge(u, v, f, id); addEddge(v, u, 0, 0); }
struct Dinic
{int S, T, cur[maxN], node;int deep[maxN], que[maxN], top, tail;inline bool bfs(){for(int i=0; i<=node; i++) deep[i] = 0;top = tail = 0; que[tail++] = S; deep[S] = 1;while(top < tail){int u = que[top++];for(int i=head[u], v; ~i; i=edge[i].nex){v = edge[i].to; ll f = edge[i].flow;if(!deep[v] && f){deep[v] = deep[u] + 1;que[tail++] = v;}}}return deep[T];}ll dfs(int u, ll dist){if(u == T) return dist;for(int &i = cur[u], v; ~i; i=edge[i].nex){v = edge[i].to;ll f = edge[i].flow;if(deep[v] == deep[u] + 1 && f){ll flow = dfs(v, min(f, dist));if(flow){edge[i].flow -= flow;edge[i ^ 1].flow += flow;return flow;}}}return 0;}inline ll Max_Flow(){ll ans = 0, tmp;while(bfs()){for(int i=0; i<=node; i++) cur[i] = head[i];while((tmp = dfs(S, INF))) ans += tmp;}return ans;}
} mf;
int dfn[maxN], low[maxN], tot, Stap[maxN], Stop, Belong[maxN], Bcnt;
bool instack[maxN] = {false};
void Tarjan(int u)
{dfn[u] = low[u] = ++tot;Stap[++Stop] = u;instack[u] = true;for(int i=head[u], v; ~i; i=edge[i].nex){v = edge[i].to;if(!edge[i].flow) continue;if(!dfn[v]){Tarjan(v);low[u] = min(low[u], low[v]);}else if(instack[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]);}if(low[u] == dfn[u]){Bcnt++;int v;do{v = Stap[Stop--];instack[v] = false;Belong[v] = Bcnt;} while(u ^ v);}
}
struct Catch
{bool vis[maxN];queue<int> Q;void bfs(int u, int op){Q.push(u);vis[u] = true;while(!Q.empty()){u = Q.front(); Q.pop();for(int i=head[u], v; ~i; i=edge[i].nex){v = edge[i].to;if((!edge[i ^ op].flow)) continue;if(!vis[v]){Q.push(v);vis[v] = true;}}}}
} FS, FT;
pair<int, int> line[maxM];
bool ans_1[maxM] = {false}, ans_2[maxM] = {false};
inline void init()
{cnt = 0; mf.node = N;for(int i=0; i<=N; i++) head[i] = -1;
}
signed main()
{scanf("%d%d%d%d", &N, &M, &mf.S, &mf.T);init();for(int i=1, u, v, w; i<=M; i++){scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);_add(u, v, w, i);line[i] = make_pair(u, v);}mf.Max_Flow();for(int i=1; i<=N; i++) if(!dfn[i]) Tarjan(i);for(int i=0, u, v; i<cnt; i += 2) if(!edge[i].flow){u = line[edge[i].id].first; v = line[edge[i].id].second;if(Belong[u] ^ Belong[v]) ans_1[edge[i].id] = true;}FS.bfs(mf.S, 0); FT.bfs(mf.T, 1);for(int i=0, u, v; i<cnt; i += 2) if(!edge[i].flow) //if(ans_1[edge[i].id]){u = line[edge[i].id].first; v = line[edge[i].id].second;if(FS.vis[u] && FT.vis[v]) ans_2[edge[i].id] = true;}for(int i=1; i<=M; i++) printf("%d %d\n", ans_1[i], ans_2[i]);return 0;
}

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