四边形内接于圆定理_初三专题：圆的内接四边形相关性质定理，你听说过托勒密定理么？...

同学们好，上几篇我们已经将和圆相关的线，和圆相关的角，以及和圆相关的面中的内接三角形分享了，这篇我们接着分享和圆相关的面中的内接四边形。那圆的内接四边形又有怎么样的性质和定理呢？

我们一起来看看：

圆的内接四边形的性质

圆内接四边形的前三个性质：

1)对角互补，外角等于它的内对角

2)相交弦定理

3)割线定理

大家应该都比较熟悉。但是第四个性质，可能大部分同学都没有听说过。这第四个性质是圆的内接四边形中边与对角线的关系。叫做托勒密定理。

4)托勒密定理

如何证明？要让四边和对角线都扯上关系。大家是否能够想到之前小编分享的关于三角形的旋转相似模型，它会出现一转成双(一般很难想到，要对此模型非常熟悉才行)。看看这种模型是否能够用以证明这个托勒密定理呢？

因为四边形ABCD四点共圆，根据圆周角定理推论，可推出∠CAB=∠CDB，根据旋转相似模型，我们可以想一下，如果作∠ABM交AC于M点，使得∠ABM=∠DBC，那么就可以推出△ABM∽△DBC，一转成双，那么也可证△ADB∽△MCB，进而就能够证明托勒密定理，我们来看看具体过程。

这个托勒密定理虽然课本上并没有直接作为一个定理拿出来给大家用，但是这个定理还是比较好用的一个定理，大家要记得它是怎么证明的。托勒密定理也是初中数学竞赛中常用的一个定理。这个定理也并不难记忆。想一想一转成双相似模型，你就应该能够想到要怎么做辅助线了。

当然，用这些定理的前提，一定得是圆的内接四边形，也就是四点共圆，但是有些题中，常常只是告诉你它是四边形，要证明一些角，线的关系。这个时候，你就得想到这些四边形是否能放到圆中，进行讨论，从而运用一些定理来证明它们的角，或者它们的线的关系。我们都知道，并不是所有的四边形都有外接圆，那最关键的问题就来了，怎么判定他们是圆的内接四边形，也就是要证明他们四点共圆呢？

让我们一起来看看四点共圆的判定，也就是圆内接四边形的性质的逆命题。

这几个判定的证明1)，2)需要用到反证法。可先假设其中一个点不在圆内，最后证明假设不成立，从而证明这个点一定在圆内。3)，4)使用三角形相似证明角的关系，再根据1)，2)来证明结论正确即可，此处证明过程略。

接下来，我们看看怎么运用四点共圆的性质和判定吧。

例题

我们来看看这道题，要求证的是对角线和边的关系，而且是四边形，那么我们就得想到托勒密定理。但是得要先证明这个四边形四点共圆。

如果熟知圆的内接四边形的性质和等腰梯形的性质，我们是非常容易知道圆的内接梯形，它一定是等腰梯形。反过来，等腰梯形，四个点共圆。这样一来，我们把等腰梯形放置到圆中，我们就可以使用托勒密定理的证明这个结论了。

看，这样一来，是不是一点都不觉得难了。托勒密定理真是太有用了。如果碰到这种题，课本上并没有明确或者说到托勒密定理可以用，大家可以把如何证明托勒密定理的方法运用到这种题目中。证明它就可以。

接下来，我们来道题练练看，你是不是已经会用托勒密定理了呢？

练习

这道练习题可能就有点难度咯。大家先动动脑想一想，提示，可以构造四边形来证明哈。

好了，今天的分享就到这了，同学们是不是又学会了一种证明方法呢？我们不仅要记得这个托勒密定理，也一定要知道它是怎么证明的哦。喜欢我们的文章，请点赞，关注，收藏，分享，我们后期还有更多思想方法分享给大家，谢谢

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