和差角证明托勒密定理

设∠AOB=2α,∠BOC=2β,∠AOD=2γ,∠DOC=2(180°-α-β-γ),设圆O半径R
∴AB=2Rsinα，BC=2Rsinβ，AD=2Rsinγ，DC=2Rsin（180°-α-β-γ）
AC=2Rsin（α+β）,BD=2Rsin（α+γ）
易知DC=2Rsin（α+β+γ）=2R[sin（α+β）cosγ+cos（α+β）sinγ]
∴DC·AB=4R²[sin（α+β）cosγsinα+cos（α+β）sinγsinα]
∴AC·BD=4R²[sin（α+β）sinαcosγ+sin（α+β）cosαsinγ]
设AB·DC+AD·BC≒AC·BD
∴4R²[cos（α+β）sinγsinα+sinβsinγ]≒4R²·sin（α+β）cosαsinγ
∴cos（α+β）sinα+sinβ≒sin（α+β）cosα
∴(cosαcosβ-sinαsinβ)sinα+sinβ≒(sinαcosβ-cosαsinβ)cosα
∴-sinαsinβsinα+1·sinβ≒cosαsinβcosα
∴sinβ(1-sin²α-cos²β)=0≒0
等式成立，得证AB·DC+AD·BC=AC·BD

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