三角形的内心

三角形内心是三角形内切圆的圆心，也是角平分线交点，记为III

sin⁡A⋅IA→+sin⁡B⋅IB→+sin⁡C⋅IC→=0→∣BC∣⋅IA→+∣AC∣⋅IB→+∣AB∣⋅IC→=0→\sin A\cdot \overrightarrow {IA}+\sin B\cdot \overrightarrow {IB}+\sin C\cdot \overrightarrow {IC}=\overrightarrow {0}\\ |BC|\cdot \overrightarrow {IA}+|AC|\cdot \overrightarrow {IB}+|AB|\cdot \overrightarrow {IC}=\overrightarrow {0}sinA⋅IA+sinB⋅IB+sinC⋅IC=0∣BC∣⋅IA+∣AC∣⋅IB+∣AB∣⋅IC=0

三角形的外心

三角形内心是三角形外接圆的圆心，也是垂直平分线交点，记为OOO

sin⁡2A⋅OA→+sin⁡2B⋅OB→+sin⁡2C⋅OC→=0→\sin 2A\cdot \overrightarrow {OA}+\sin 2B\cdot \overrightarrow {OB}+\sin 2C\cdot \overrightarrow {OC}=\overrightarrow {0}sin2A⋅OA+sin2B⋅OB+sin2C⋅OC=0

三角形的重心

三角形内心是三角形中心的交点，记为GGG

GA→+GB→+GC→=0→PG→=13(PA→+PB→+PC→)\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}=\overrightarrow {0}\\ \overrightarrow {PG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PC})GA+GB+GC=0PG=31(PA+PB+PC)

三角形的垂心

三角形内心是三角形垂线的交点，记为HHH

tan⁡A⋅HA→+tan⁡B⋅HB→+tan⁡C⋅HC→=0→OA→⋅OB→=OB→⋅OC→=OC→⋅OA→\tan A\cdot \overrightarrow {HA}+\tan B\cdot \overrightarrow {HB}+\tan C\cdot \overrightarrow {HC}=\overrightarrow {0}\\ \overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}=\overrightarrow {OB}\cdot \overrightarrow {OC}=\overrightarrow {OC}\cdot \overrightarrow {OA}tanA⋅HA+tanB⋅HB+tanC⋅HC=0OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA

三角形的旁心

三角形的旁心是外角平分线的交点，旁心有三个

{−sin⁡A⋅IAA→+sin⁡B⋅IAB→+sin⁡C⋅IAC→=0→sin⁡A⋅IBA→−sin⁡B⋅IBB→+sin⁡C⋅IBC→=0→sin⁡A⋅IAC→+sin⁡B⋅ICB→−sin⁡C⋅ICC→=0→\begin{cases} -\sin A \cdot \overrightarrow{I_AA}+\sin B \cdot \overrightarrow{I_AB}+\sin C \cdot \overrightarrow{I_AC}=\overrightarrow {0}\\ \sin A \cdot \overrightarrow{I_BA}-\sin B \cdot \overrightarrow{I_BB}+\sin C \cdot \overrightarrow{I_BC}=\overrightarrow {0}\\ \sin A \cdot \overrightarrow{I_AC}+\sin B \cdot \overrightarrow{I_CB}-\sin C \cdot \overrightarrow{I_CC}=\overrightarrow {0} \end{cases}⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧−sinA⋅IAA+sinB⋅IAB+sinC⋅IAC=0sinA⋅IBA−sinB⋅IBB+sinC⋅IBC=0sinA⋅IAC+sinB⋅ICB−sinC⋅ICC=0

其他

欧拉线: 外心、重心、垂心共线；可参考
鸡爪定理；可参考
已知一个坐标系，xxx轴穿过AAA，yyy轴穿过BBB，zzz轴穿过CCC，那么OOO点在平面ABCABCABC上的投影落在三角形ABCABCABC的垂心上

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