[MtOI2019][奇汁淫巧]幻想乡数学竞赛

题意:有一个数列,a0=−3,a1=−6,a2=−12,an=3an−1+an−2−3an−3+3na_0=-3,a_1=-6,a_2=-12,a_n=3a_{n-1}+a_{n-2}-3a_{n-3}+3^na0=−3,a1=−6,a2=−12,an=3an−1+an−2−3an−3+3n
T次询问，每次给出n
T⩽5∗107T\leqslant 5*10^7T⩽5∗107
n在unsignedlonglong的范围内n在unsigned\ long long的范围内n在unsigned longlong的范围内
解法：这里介绍一个新方法
首先我们需要把该递推式弄成常系数其次线性递推式
怎么弄呢？
我们需要把3n3^n3n消去
太不好看啦
怎么消呢?
变形,3an=9an−1+3an−2−9an−3+3n+13a_n=9a_{n-1}+3a_{n-2}-9a_{n-3}+3^{n+1}3an=9an−1+3an−2−9an−3+3n+1
an+1=3an+an−1−3an−2+3n+1a_{n+1}=3a_n+a_{n-1}-3a_{n-2}+3^{n+1}an+1=3an+an−1−3an−2+3n+1
两个式子相减可以得到
an+1=6an−8an−1−6an−2+9an−3a_{n+1}=6a_n-8a_{n-1}-6a_{n-2}+9a_{n-3}an+1=6an−8an−1−6an−2+9an−3
接下来就是奇汁淫巧的部分了
解一下方程
x4=6x3−8x2−6x+9x^4=6x^3-8x^2-6x+9x4=6x3−8x2−6x+9
那么x=-1,1或3
且原方程可以表示为
(x+1)(x−1)(x−3)(x−3)(x+1)(x-1)(x-3)(x-3)(x+1)(x−1)(x−3)(x−3)
于是答案便显然了
1一个重根
-1一个重根
3两个重根
每个a_n可以表示为
3n∗(xn+y)+c∗1n+d∗(−1)n3^n*(xn+y)+c*1^n+d*(-1)^n3n∗(xn+y)+c∗1n+d∗(−1)n
套进a0,a1,a−2,a3a_0,a_1,a-2,a_3a0,a1,a−2,a3解出来就好了
于是最终答案便是
an=3n+2∗(4n−13)+36−15∗(−1)n32a_n=\frac{3^{n+2}*(4n-13)+36-15*(-1)^n}{32}an=323n+2∗(4n−13)+36−15∗(−1)n
至于luogu的官方题解，看不懂看不懂
至于博主有没有过这题，不是说卡常吗？

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