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等价关系、商集和集合的划分

2009年7月保定学院学报 Jul．，2009

0FBAODINGUNIVERSITY

第22卷第4期 JOURNAL VoL22No．4

文章编号：1674．2494【2009)04．0023-02

等价关系、商集和集合的划分

许会峰1，尚玉伟2

(1．保定学院数学与计算机系，河北保定071000；2．保定广播电视大学，河北保定071000)

摘要：证明了集合上的等价关系与由此产生的商集所确定的等价关系的同一性；证明了集合

的划分与它确定的等价关系所产生的商集的同一性．

关键词：等价关系；集合的划分；商集

中图分类号：0158 文献标识码：A

1预备知识

定义1Il】设尼黾集合A上的二元关系，如果关系剐司时具备自反性、对称性和传递性，则称关系R为等价

关系．

定义2嘲设S是一个集合，A。，A：，…，AJ，I是它的非空子集，如果满足下列条件：

1)所有的Ai均是分离的，亦即对所有的i莉(i=l，2，…，re；j=1，2，…，m)若i巧，则A；nAJ=∥；

2)AlUA2U…UA-．=S．

则集合A=似，，A：，…，A。l称为S的一个划分．而A。，A：，…，A．，称为这个划分的块．

这个集合称为石关于只所生成的等价类，石叫做[xh的表示元素．

引理l嗍非空集合x上的等价关系刚听诱导的等价类的集合{BkkEx}亦即x关于R的商集X／R构成x的

一个划分．

m)可以产生等价关系K=

引理2田集合X上的一个划分可以产生一个等价关系，即划钔=似。，A：，…，A

(A1xAI)U(A2xA2)U…U(A州。)．

2主要结果

，EX

证明I)首先证明Uhl洋[x]sC_R．

，EX

V(，，，彳)EU(扛k×kk)，j菇∈x，使得(，，，z)∈lkkk，所以有yebk，z∈陆k，进而xRy_gi．xRz．

，EX

c_R

#E工

得证．

2)再证明R

C：U([xl矗xbk)．

zEX

收稿日期：2009-04-Il

作者简介：许会峰(1965一)，男，河北望都人，理学硕士，副教授．

万方数据

24 保定学院学报 2009年第4期

V(，，，：)ER，]ffyR孑，由等价类定义得z

所以R∈U(BkBk)得证．由1)、2)定理l得证．

1EX

ftI

2，…，Am}．

关系产生的商集x／x={txl出Ex}仍然是{A。，A：，…，Aml，且P{[xklx∈X}={Ai,A

证明1)首先证明lh】出∈Xl∈IA-，A2，…，A0．

Ai=X，又因为

V[xks{Bkk∈xl，因为似。，A：，…，Am)是集合x上的一个划分，所以由划分的定义2得U

菇EX，所以了A，∈似。，A2，…，A0，使楸∈A户下面只需证明必，就是bk，星P[xk=Ay．

i)Vye

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