测度论与概率论基础学习笔记6——2.4可测函数的收敛性

在前面，我们已经学了各种集合系的概念、测度的定义和性质、外测度、测度的扩张和测度空间的完备化。今天主要记录可测函数的收敛性，这部分内容和数学分析是比较相似的。

1.补充可测函数的概念，之前没有说清楚：

1.1 Borel集合系
我们知道σ\sigmaσ域对交、补、可列并运算是封闭的。特别地，我们把Rn\mathbb R^nRn上由一切开集构成的开集族，其生成的σ\sigmaσ域称作Rn\mathbb R^nRn的Borelσ\sigmaσ域，其中的集合称为Borel集。我们用BR\mathscr B_{\mathbf R}BR表示R\mathbb RR上的Borel集合系。根据定义，也即：
BR=σ(OR)\mathscr B_{\mathbf R} = \sigma(\mathscr O_{\mathbf R})BR=σ(OR)
其中OR\mathscr O_{\mathbf R}OR是R\mathbb RR中开集组成的集合系。

1.2 可测函数
我们知道，正负无穷是特殊的数。为此定义广义实数集：R′=R∪{−∞}∪{+∞}\mathbf R'=\mathbb R \cup \{-\infty\} \cup \{+\infty\}R′=R∪{−∞}∪{+∞}.相应地，定义R′\mathbf R'R′上的Borel集合系：
BR′=σ(BR,{+∞},{−∞})\mathscr B_{\mathbf R'} = \sigma(\mathscr B_{\mathbf R},\{+\infty\},\{-\infty\})BR′=σ(BR,{+∞},{−∞})
因此，从测度空间(X,F)(X,\mathscr F)(X,F)到(R′,BR′)(\mathbf R',\mathscr B_{\mathbf R'} )(R′,BR′)的可测映射称为(X,F)(X,\mathscr F)(X,F)上的可测函数。
可以看到，可测函数的函数值可以是无穷大。相应地，如果函数是从(X,F)(X,\mathscr F)(X,F)到(R,BR)(\mathbf R,\mathscr B_{\mathbf R} )(R,BR)上的映射，就可以叫做有限值可测函数。随机变量就是一种有限值可测函数。
\space

2.可测函数的收敛性

首先先学习三个概念：几乎处处收敛；几乎一致收敛；按测度收敛。

2.1几乎处处收敛
这里的收敛性都是强调几乎(almost)，顾名思义，几乎怎样就是不怎样的概率（测度）是0.
定义1： 设{fn}\{f_n\}{fn}和fff是测度空间(X,F,μ)(X,\mathscr F,\mu)(X,F,μ)上的可测函数，若
μ(lim⁡n→∞fn≠f)=0\mu(\lim_{n\to\infty}f_n\ne f)=0μ(n→∞limfn=f)=0
则说可测函数列{fn}\{f_n\}{fn}几乎处处(almost everywhere,a.e.)以fff为极限。如果，fff几乎处处有限且fn→a.e.ff_n \stackrel{a.e.}{\rightarrow}ffn→a.e.f，则称{fn}\{f_n\}{fn}几乎处处收敛至fff.
上面的式子也可写为：
μ(lim⁡n→∞fn=f)=μ(X)\mu(\lim_{n\to\infty}f_n= f)=\mu(X)μ(n→∞limfn=f)=μ(X)
当然，在概率空间中，等号右边的值就是1.
将{lim⁡n→∞fn≠f}\{\lim_{n\to\infty}f_n\ne f\}{limn→∞fn=f}写成集合极限的形式（我认为是上极限），有如下命题：
命题1： fn→a.e.ff_n \stackrel{a.e.}{\rightarrow}ffn→a.e.f当且仅当
μ(∩m=1∞∪n=m∞{∣fn−f∣≥ε})=0\mu (\cap_{m=1}^\infty \cup_{n=m}^\infty \{|f_n-f|\ge \varepsilon\})=0μ(∩m=1∞∪n=m∞{∣fn−f∣≥ε})=0

2.2 几乎一致收敛

定义2： 设{fn}\{f_n\}{fn}和fff是测度空间(X,F,μ)(X,\mathscr F,\mu)(X,F,μ)上的可测函数，若对任给ε>0,∃A∈F：μ(A)<ε\varepsilon>0,\exists A\in \mathscr F：\mu(A)<\varepsilonε>0,∃A∈F：μ(A)<ε且
lim⁡n→∞sup⁡x∉A∣fn(x)−f(x)∣=0\lim_{n\to\infty}\sup_{x\notin A}|f_n(x)-f(x)|=0n→∞limx∈/Asup∣fn(x)−f(x)∣=0
则说{fn}\{f_n\}{fn}几乎一致(almost uniform,a.u.)收敛到fff。
这个定义与数学分析中一致收敛的定义有异曲同工之意。一致收敛是比处处收敛(点态收敛)更严格的收敛。
几乎一致收敛也有一个等价的命题：
命题2： fn→a.u.ff_n \stackrel{a.u.}{\rightarrow}ffn→a.u.f当且仅当
lim⁡m→∞μ(∪n=m∞{∣fn−f∣≥ε})=0\lim_{m\to\infty}\mu (\cup_{n=m}^\infty \{|f_n-f|\ge \varepsilon\})=0m→∞limμ(∪n=m∞{∣fn−f∣≥ε})=0
(Note：说实话，我感觉命题1和命题2是一回事…，但只是在测度有限的情况下才是一回事，待悟。）

2.3按测度收敛
顾名思义：（老顾名思义了）
定义3： 设{fn}\{f_n\}{fn}和fff是测度空间(X,F,μ)(X,\mathscr F,\mu)(X,F,μ)上的可测函数，若对任给ε>0\varepsilon>0ε>0:
lim⁡n→∞μ(fn−f∣≥ε)=0\lim_{n\to\infty}\mu (f_n-f|\ge \varepsilon)=0n→∞limμ(fn−f∣≥ε)=0
则称fn→μff_n \stackrel{\mu}{\rightarrow}ffn→μf.

2.4 三者的关系
如前所述，几乎一致收敛是最严格的，因此：
fn→q.u.f⇒fn→a.e.f，fn→μff_n \stackrel{q.u.}{\rightarrow}f \Rightarrow f_n \stackrel{a.e.}{\rightarrow}f ， f_n \stackrel{\mu}{\rightarrow}ffn→q.u.f⇒fn→a.e.f，fn→μf
在测度有限的条件下，a.e.收敛和a.u.收敛等价。

3.讨论概率空间
对概率空间(X,F,P)(X,\mathscr F,P)(X,F,P)来说，依测度收敛就称作依概率收敛。对于之前说过的准分布函数（单调非降右连续）FFF，若满足lim⁡x→+∞F(x)=1,lim⁡x→−∞F(x)=0\lim_{x\to + \infty}F(x)=1,\lim_{x\to - \infty}F(x)=0limx→+∞F(x)=1,limx→−∞F(x)=0,则其称作分布函数，定义为：
F(x)=P{f≤X}F(x)=P\{f \le X\}F(x)=P{f≤X}
且称fff服从FFF.

定义4.左连续逆
设FFF是一准分布函数，t∈(F(−∞),F(+∞))t\in(F(-\infty),F(+\infty))t∈(F(−∞),F(+∞))，令
F←(t)=inf⁡{x∈R:F(x)≥t}F^{\leftarrow}(t)=\inf \{x\in\R :F(x)\ge t\}F←(t)=inf{x∈R:F(x)≥t}
为FFF的左连续逆。

理解：逆的概念，自然是单独的自变量和函数值的关系，在这里，定义为使得FFF大于某个值的自变量的下确界。想象FFF是一个阶梯状的分布函数，则对于某一个ttt的范围，其左连续逆是同一个xxx。则有如下充要关系：
F←(t)≤x⇔F(x)≥tF^{\leftarrow}(t)\le x \Leftrightarrow F(x)\ge tF←(t)≤x⇔F(x)≥t

定理5.
对任何概率分布函数FFF，必存在一个概率空间(X,F,P)(X,\mathscr F,P)(X,F,P)和其上的一个随机变量fff，使得f∼Ff \sim Ff∼F。

证明：考虑均匀分布的分布函数：U(t)=t,∀t∈(0,1)U(t)=t,\forall t \in (0,1)U(t)=t,∀t∈(0,1)，考察一个复合函数F←∘UF^{\leftarrow} \circ UF←∘U:

测度论与概率论基础学习笔记6——2.4可测函数的收敛性相关推荐

测度论与概率论基础学习笔记4——2.2外测度
测度论果然十分高深啊-越学越觉得自己水平有限,只能做一些肤浅的理解. 由于比较stupid,本节的证明我都没有学(doge,希望几年之后武功长进之时能回来看看. 引言外测度的基本想法是用一些形状良好 ...
测度论与概率论基础学习笔记3——2.1测度的定义与性质
定义1 设E\mathscr EE是XXX上的集合系且∅∈E\emptyset \in \mathscr E∅∈E,若E\mathscr EE上的非负集函数(取值大于等于0的函数)μ\muμ具有可列可 ...
测度论与概率论基础学习笔记5——2.3测度的扩张和测度空间的完备化
note:这部分内容比较偏证明,对我来说有些难度,也好久没更新.今日暂且一记,以后有更深刻的理解之后再来补充.2021.3.16 一.测度的扩张定义:扩张设μ\muμ和τ\tauτ分别是集合系A\ ...
测度论与概率论基础学习笔记9——3.3Lp空间
Lp空间在泛函分析中比较详细地讲述过(但我没有详细地学过),这里更多作一点重复. 1.Lp空间定义设(X,F,μ)(X,\mathscr F,\mu)(X,F,μ)是一测度空间,定义其上绝对值p次幂 ...
Java基础-学习笔记（六）——类的封装性
1.类是模板,对象是具体的实例 2.如果成员函数中的局部变量与成员变量名一致,则该方法对这个变量名的访问是局部变量 class lesson1 {int age=9;void talk(){int a ...
guido正式发布python年份_Python 基础学习笔记.docx
Python 基础学习笔记基于<Python语言程序设计基础(第2版)> 第一部分初识Python语言第1章程序设计基本方法 1.1 计算机的概念计算机是根据指令操作数据的设备, ...
ASP.Net MVC开发基础学习笔记（5）：区域、模板页与WebAPI初步
http://blog.jobbole.com/85008/ ASP.Net MVC开发基础学习笔记(5):区域.模板页与WebAPI初步 2015/03/17 · IT技术 · .Net, Asp. ...
Python3 基础学习笔记 C09【文件和异常】
CSDN 课程推荐:<8小时Python零基础轻松入门>,讲师齐伟,苏州研途教育科技有限公司CTO,苏州大学应用统计专业硕士生指导委员会委员:已出版<跟老齐学Python:轻松入门& ...
Python3 基础学习笔记 C08 【类】
CSDN 课程推荐:<8小时Python零基础轻松入门>,讲师齐伟,苏州研途教育科技有限公司CTO,苏州大学应用统计专业硕士生指导委员会委员:已出版<跟老齐学Python:轻松入门& ...
Python3 基础学习笔记 C07【函数】
CSDN 课程推荐:<8小时Python零基础轻松入门>,讲师齐伟,苏州研途教育科技有限公司CTO,苏州大学应用统计专业硕士生指导委员会委员:已出版<跟老齐学Python:轻松入门& ...

测度论与概率论基础学习笔记6——2.4可测函数的收敛性

测度论与概率论基础学习笔记6——2.4可测函数的收敛性相关推荐

最新文章

热门文章