最大连续子序列和（LeetCode-53）

1. 题目描述：

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。子数组是数组中的一个连续部分。

2. 示例：

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

3. 题解：

假设dp[i]是以nums[i]为结尾的最大连续子序列和，根据动态规划性质（DP满足三大特性证明略，DP三大特性可参考https://blog.csdn.net/m0_51339444/article/details/123716692）
现在考虑dp[i]和上一个最优子问题dp[i-1]，不难得出规划方程为：
dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i])
然后考虑边界情况，以nums[0]为结尾的最大连续子序列和肯定是dp[0] = nums[0]，因为不可能最大连续子序列为空。

4. 代码：

class Solution {
public:int maxSubArray(vector<int>& nums) {int len = nums.size();int dp[len];memset(dp, -999999, len * sizeof(int));dp[0] = nums[0];if(len > 1){for(int i = 1; i < len; ++i){dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);}}sort(dp, dp + len);return dp[len - 1];}
};

环形子数组的最大和（LeetCode-918）

1. 问题描述：

给定一个长度为 n 的环形整数数组 nums ，返回 nums 的非空子数组的最大可能和。环形数组意味着数组的末端将会与开头相连呈环状。形式上， nums[i] 的下一个元素是 nums[(i + 1) % n] ， nums[i] 的前一个元素是 nums[(i - 1 + n) % n] 。子数组最多只能包含固定缓冲区 nums 中的每个元素一次。形式上，对于子数组 nums[i], nums[i + 1], …, nums[j] ，不存在 i <= k1, k2 <= j 其中 k1 % n == k2 % n 。

2. 示例：

示例 1：

输入：nums = [1,-2,3,-2]
输出：3
解释：从子数组 [3] 得到最大和 3

示例 2：

输入：nums = [5,-3,5]
输出：10
解释：从子数组 [5,5] 得到最大和 5 + 5 = 10

示例 3：

输入：nums = [3,-2,2,-3]
输出：3
解释：从子数组 [3] 和 [3,-2,2] 都可以得到最大和 3

3. 题解：

仔细思考一下，就很容易发现，环形数组最大连续子序列和求解其实分为两种情况：

而第二种情况其实等价于：

因为数组全部元素的和是固定的，某部分和最大，就是其余部分的和最小，第二种情况随之就转换成了求解最小连续子序列和问题，而求最小连续子序列和代码几乎不变，只需要对规划方程改动一处即可：
dp[i] = min(dp[i - 1] + nums[i], nums[i])
问题也就迎刃而解了，但是：

有一个细节，如果仅仅进行上面的步骤，不一定能AC的。因为如果nums中存的所有元素都是负数，那最小连续子序列和就是全部元素，而最大连续子序列就为空，这显然是不合理的。因此，多加一个case，判断最大连续子数组和是否小于0，小于0，直接返回值。

4. 代码：

class Solution {
public:int maxSubarraySumCircular(vector<int>& nums) {int len = nums.size();int dp1[len];memset(dp1, -999999, len * sizeof(int));dp1[0] = nums[0];if(len > 1){for(int i = 1; i < len; ++i){dp1[i] = max(dp1[i - 1] + nums[i], nums[i]);}}sort(dp1, dp1 + len);int max1 = dp1[len - 1];int dp2[len];memset(dp2, 999999, sizeof(int));dp2[0] = nums[0];if(len > 1){for(int i = 1; i < len; ++i){dp2[i] = min(dp2[i - 1] + nums[i], nums[i]);}}sort(dp2, dp2 + len);int sum = 0;for(int i = 0; i < len; ++i){sum += nums[i];}int max2 = sum - dp2[0];int MAX = max(max1, max2);if(max1 < 0)return max1;elsereturn MAX;}
};

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