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title: 训练指南 UVALive - 5713（最小生成树 + 次小生成树）
author: "luowentaoaa"
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tags:
- 最小生成树
- 图论
- 训练指南

Qin Shi Huang's National Road System

UVALive - 5713

题意

有n个城市，要修一些路使得任意两个城市都能连通。但是有人答应可以不计成本的帮你修一条路，为了使成本最低，你要慎重选择修哪一条路。假设其余的道路长度为B，那条别人帮忙修的道路两端城市中的总人口为B，要找一个使A/B最大的方案。

题意

先求最小生成树，处理出MST中任意两点之间的最长边。因为别人只答应给修一条路，所以枚举这条路，用这条路替换下一条MST中最长的边（在加入这条路后构成的环中），比较求得A/B的最大值。实际上是把求次小生成树的一些后续操作改改。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int maxn=1e3+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
int n,m,x[maxn],y[maxn],p[maxn];int pa[maxn];
int findset(int x){return pa[x]!=x?pa[x]=findset(pa[x]):x;}
vector<int>G[maxn];
vector<double>C[maxn];struct Edge{int x,y;double d;bool operator < (const Edge& rhs)const{return d<rhs.d;}
};Edge e[maxn*maxn];
double maxcost[maxn][maxn];
vector<int>nodes;void dfs(int u,int fa,double facost){//cout<<"dfs="<<u<<endl;for(int i=0;i<nodes.size();i++){int x=nodes[i];maxcost[u][x]=maxcost[x][u]=max(maxcost[x][fa],facost);}nodes.push_back(u);for(int i=0;i<G[u].size();i++){if(G[u][i]==fa)continue;dfs(G[u][i],u,C[u][i]);}
}
double dis(int i,int j){return sqrt((x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]));
}
double MST(){m=0;for(int i=0;i<n;i++)for(int j=i+1;j<n;j++)e[m++]=(Edge){i,j,dis(i,j)};sort(e,e+m);for(int i=0;i<n;i++){pa[i]=i;G[i].clear();C[i].clear();}int cnt=0;double ans=0;for(int i=0;i<m;i++){int x=e[i].x,y=e[i].y,u=findset(x),v=findset(y);double d=e[i].d;if(u==v)continue;pa[u]=v;G[x].push_back(y);G[y].push_back(x);C[x].push_back(d);C[y].push_back(d);ans+=d;if(++cnt==n-1)break;}return ans;
}
int main()
{std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0);std::cout.tie(0);int t;cin>>t;while(t--){cin>>n;for(int i=0;i<n;i++)cin>>x[i]>>y[i]>>p[i];double tot=MST();memset(maxcost,0,sizeof(maxcost));nodes.clear();dfs(0,-1,0);double ans=-1;for(int i=0;i<n;i++)for(int j=i+1;j<n;j++){ans=max(ans,(p[i]+p[j])/(tot-maxcost[i][j]));}cout<<fixed<<setprecision(2)<<ans<<endl;}return 0;
}