先从几个简单的问题开始（普通型）：

问题1：有面值为1元、2元、3元的纸币各一张，要凑出3元，有几种取法？

很容易就能得出是2种取法。
如果用x的指数表示面值，可以得到母函数G(x)=(1+x)(1+x²)(1+x³)
将其展开得：G(x)=1+x+x²+2x³+x⁴+x⁵+x⁶
x³前面的系数代表了凑出面值为3的方案数。
解释： 因为多项式展开时的运算类似于排列组合，并且两个项相乘其实就是x指数的相加，所以最终可以用系数来表示方案数。这就是普通型母函数。
关于括号里为什么是1+xⁿ的形式：1表示某种面值的纸币不取。（可以看成x⁰，取一张面值为0的纸币）。

变式1：如果纸币的数量无限，有几种取法？

这时的母函数可以表示为：G(x)=(1+x+x²+…+xⁿ)(1+x²+x⁴+…+x²ⁿ)(1+x³+x⁶+…+x³ⁿ)
解释： 第一个括号表示面值为1元的纸币的取法，第二个括号表示2元的，第三个表示3元的。因为展开后的一个项是从三个括号里面各取一项进行相乘，所以用括号里x的系数来表示某个面值的纸币取的数量×面值。
题目要求面值和是3元，因此只要展开到x³的项即可，后面的可以不用去管。
展开后的G(x)=1+x+2x²+3x³+…
此时x³前面的系数是3，表示有三种取法。

变式2：如果面值为1元、2元、3元的纸币分别为3，2，1张，有几种取法？

跟上面做法类似，令G(x)=(1+x+x²+x³)(1+x²+x⁴)(1+x³)
因为是有限张，所以括号内的项数也是有限的，其余做法略。

问题2：有一个字符串：aaabbccc，从字符串内取出4个字符，组成一个新的字符串，有几种取法（要求按字母表顺序排列）？

和问题1类似，但是结果只对取出字母的数量有要求，而问题一对纸币数量无要求，只对面值和有要求。
因此此题的母函数可以写成：G(x)=(1+x+x²+x³)(1+x+x²)(1+x+x²+x³)
展开后得：G(x)=1+3x+6x²+9x³+10x⁴+9x⁵+6x⁶+3x⁷+x⁸
解释： 括号内的x指数表示字母出现的次数，从左到右的括号分别为abc。展开后项的指数就表示新的字符串长度。x⁴的系数为10，因此有10种取法。

普通母函数大致介绍完了，那么如何用代码来实现函数的展开呢？

手工计算的做法是先将前两个括号相乘，得到一个新的括号，再将新的括号与后面的括号依次相乘。代码的实现也是同样的做法，只不过省略了一些步骤，比如最终结果是要求x⁵前面的系数，那么计算的时候算到x⁵过就行，后面的计算全部跳过，因为对结果不会产生影响了。
以下为问题2的模板：

#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 10
using namespace std;int c1[MAXN], c2[MAXN]; //c1保存结果，c2存储运算时的中间量
int element[MAXN]; //表示每种字母有几个//n表示有n个括号（或n种字母），r表示要取出r个字母（或结果计算到指数为r的项就停止）
void get_ans(int n, int r)
{memset(c1, 0, sizeof(c1));memset(c2, 0, sizeof(c2));//将c1初始化为第一个括号的系数for (int i = 0; i <= element[0]; i++)c1[i] = 1;//第一层循环表示第i+1个括号for (int i = 1; i < n; i++){//第二层循环表示i+1个括号内指数为j的项for (int j = min(element[i], r); j >= 0; j--){//第三重循环表示前面计算结果中指数为k的项for (int k = r - j; k >= 0; k--){//合并同类项，注意是加上前面结果的系数c2[k + j] += c1[k];}}//一个括号计算完后将c2的结果转移至c1for (int j = r; j >= 0; j--){c1[j] = c2[j];c2[j] = 0;}}
}int main()
{element[0] = 3;element[1] = 2;element[2] = 3;get_ans(3, 8);for (int i = 0; i <= 8; i++) //输出所有项的系数printf("%d ", c1[i]);printf("\n");//输出为：1 3 6 9 10 9 6 3 1 符合结果系数return 0;
}

以下为变式1的模板：

#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 10
using namespace std;int c1[MAXN], c2[MAXN]; //c1保存结果，c2存储运算时的中间量
int element[MAXN];      //表示纸币的面值void get_ans(int n, int r)
{memset(c1, 0, sizeof(c1));memset(c2, 0, sizeof(c2));for (int i = 0; i <= r; i += element[0])c1[i] = 1;//第一层循环表示第i+1个括号for (int i = 1; i < n; i++){//第二层循环表示i+1个括号内指数为j的项（每次加上面值）for (int j = 0; j <= r; j += element[i]){//第三重循环表示前面计算结果中指数为k的项(因为不知道有多少项，要把所有指数都遍历一遍)for (int k = r - j; k >= 0; k--){//合并同类项，注意是加上前面结果的系数c2[k + j] += c1[k];}}//一个括号计算完后将c2的结果转移至c1for (int j = r; j >= 0; j--){c1[j] = c2[j];c2[j] = 0;}}
}int main()
{element[0] = 1;element[1] = 2;element[2] = 3;get_ans(3, 3);for (int i = 0; i <= 3; i++) //输出所有项的系数printf("%d ", c1[i]);printf("\n");//输出为：1 1 2 3 符合结果系数return 0;
}

如果排列的顺序不同视为不同的取法（指数型）：

相比普通型母函数，指数型母函数除了相应指数的阶乘

因为取三个a，如果这三个a如果看成是不一样的，有3!种排列方式。（至于为什么这么做，跟最终结果的取法有关）
那么展开后很显然xⁿ的系数是一个分数，这个分数乘上对于指数的阶乘就是结果数了。因为n个字符有n!中排列方式（算上重复的），而在未展开时除的对应指数的阶乘就是为了消除这种重复，也就解答了上面的问题。
代码跟普通型母函数差不多，只是c1和c2从int类型变成了double类型。
为了加速阶乘运算，可以进行打表，事先将阶乘结果保存在数组里，要算阶乘的时候直接取即可。

以问题2为例，如果对于排列顺序没有要求，那么有几种排列？

//指数型母函数模板
#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 10
using namespace std;
double f[10];              //保存阶乘结果
double c1[MAXN], c2[MAXN]; //c1保存结果，c2存储运算时的中间量
int element[MAXN];         //表示字母数量void factorial(int n) //阶乘预处理
{f[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++){f[i] = f[i - 1] * i;}
}void get_ans(int n, int r)
{memset(c1, 0, sizeof(c1));memset(c2, 0, sizeof(c2));//将c1初始化为第一个括号的系数for (int i = 0; i <= element[0]; i++)c1[i] = 1.0 / f[i];//第一层循环表示第i+1个括号for (int i = 1; i < n; i++){//第二层循环表示i+1个括号内指数为j的项for (int j = min(element[i], r); j >= 0; j--){//第三重循环表示前面计算结果中指数为k的项for (int k = r - j; k >= 0; k--){//合并同类项，注意是加上前面结果的系数c2[k + j] += c1[k] / f[j];}}//一个括号计算完后将c2的结果转移至c1for (int j = r; j >= 0; j--){c1[j] = c2[j];c2[j] = 0;}}
}int main()
{factorial(10);element[0] = 3;element[1] = 2;element[2] = 3;int r = 8;get_ans(3, r);for (int i = 0; i <= r; i++)printf("%.0f ", c1[i] * f[i]);return 0;
}

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